Rewote Darstellungsmatrix

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -175,23 +175,9 @@
         - Kodimension $= 1$ Hyperebend
     ]
 
+    // Darstellungs Matrix
     #bgBlock(fill: colorVR)[
         #subHeading([Darstellungs Matrix], fill: colorVR)
-
-        Matrix $equiv$ Linera Abbildung \
-
-        Sclar-Matrix Multiplikation $lambda M$ \
-        - Kommutativ, Assoziativgesetz, (keine Gruppe wege fehlender Abgeschlossenheit)
-
-        Matrix-Matrix Addtion $M + N$
-        - Kommutativ Gruppe $(KK^(n times n), +)$
-
-        Matrix-Matrix Multiplikation/Composition \
-        $M dot N equiv Phi_M compose Phi_N = Phi_M (Phi_N (ve(x)))$ \
-        $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
-
-
-        #SeperatorLine
         *Vektorraum Isomorphismus*
         - $V tilde.equiv W <=> dim(V) = dim(W)$
         - $V tilde.equiv W <=> exists f: V -> W, f "bijektiv (umkehrbar)"$
@@ -208,19 +194,19 @@
                 Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $A$)\
                 Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $B$)\
 
-                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V$ und dem $KK^m slash KK^n$
+                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V$ und dem $KK^n_A slash KK^n_B$
             ]
         )
 
         $space_A T_B$: Basiswechsel: $K^n$ (in Basis $A$) $->$ $K^n$ (in Basis $B$)
         $space_B T_A$: Basiswechsel: $K^n$ (in Basis $B$) $->$ $K^n$ (in Basis $A$)
 
-        Wenn $V, KK^n "(in Basis A/B)"$ ein $RR^n slash CC^n$ \ ist $Phi_(A slash B) = mat(dots.v, dots.v; ve(b_1), ve(b_2), ...; dots.v, dots.v,)$, $ve(b_1), ve(b_2), ...$ \ Basisvektoren der Basis von $A slash B$
+        Wenn $V, KK^n "(in Basis A/B)"$ ein $RR^n slash CC^n$ \ ist $Phi_(A slash B) = mat(|, |; ve(b_1), ve(b_2), ...; |, |,)$, $ve(b_1), ve(b_2), ...$ \ Basisvektoren der Basis von $A slash B$
 
         #SeperatorLine
         *Darstellungs-Matrix*
 
-        Idee: Wir führen Abbildung $f$ nicht $A -> B$ sonderem in $KK^n -> KK^m$ durch $-->$ Darstellungs-Matrix $D$
+        Idee: Wir führen Abbildung $f$ nicht $V -> W$ sonderem in $KK^n -> KK^m$ durch $-->$ Darstellungs-Matrix $D$
 
         #grid(
             columns: (auto, 1fr),
@@ -229,14 +215,14 @@
             [
                 $f: V -> W$ Orignal Abbildung \
                 Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $A$)\
-                Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $B$)\
+                Vektorraum $W tilde.equiv KK^m$ (in Basis $B$)\
 
-                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V$ und dem $KK^m, KK^m$
+                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V,W$ und dem $KK^n, KK^m$
             ],
         )
 
         #grid(columns: (1fr, 1fr),
-            $D = Psi^(-1) compose f compose Phi$,
+            $D = Phi_C compose f compose Phi_B$,
             $$
         )
 
@@ -304,8 +290,7 @@
 
         *Bild:* Wertemenge $WW$ 
         - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
-        - Bei Matrix: $Bild(A) = spann("Spalten Vektoren")$
-        - Basis $B : op("spann")(B)$
+        - Bei Matrix: $Bild(M) = spann("Spalten Vektoren")$
         - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
 
         *Rang*
@@ -313,7 +298,7 @@
 
         *Nullraum/Kern:* \
         $kern(Phi) := {v in V | Phi(v) = 0}$
-        - $A ve(x) = ve(0)$
+        - $A ve(x) = ve(0)$ (Lösung des Homogenen Gleichungssystem)
 
         *Dimensionssatz:* Sei $A$ lineare Abbildung \
         $dim(V) = dim(kern(A)) + dim(Bild(A))$ \
@@ -323,20 +308,42 @@
         
         $"Wenn" dim(V) = dim(Bild(A)) "oder" dim(kern(A)) = 0 \ <=> A "bijektiv" <=> "invertierbar"$
     ]
+    
+    #colbreak()
+
+    // Matrix Basics
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Basics]
+        Matrix $equiv$ Linera Abbildung \
+
+        - Sclar/Matrix: $lambda dot A$
+        - Matrix/Matrix: $A + B$
+        - Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
+        $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
+
+        #SeperatorLine
+
+        #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+            row-gutter: 2mm,
+            align(center, $(lambda mu) A = lambda (mu A)$), 
+            grid.cell(colspan: 2, align(center, $(lambda + mu) A = lambda A + mu A$)),
+            align(center, $$), 
+            grid.cell(colspan: 2, align(center, $lambda (A + B) = lambda A + lambda B$)),
+        )
+
+        *Transponieren*
+
+        #grid(columns: (1fr, 1fr),
+            row-gutter: 2mm,
+            $(A + B)^T = A^T + B^T$,
+            $(lambda A)^T = lambda A^T$,
+            $(A^T)^T = A$,
+            $(A dot B)^T = B^T dot A^T$
+        )
+
 
-    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
-        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform]
     ]
 
-    #bgBlock(fill: colorVR)[
-        #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische Vektorräume]
-    ]
-
-    #bgBlock(fill: colorVR)[
-        #subHeading(fill: colorVR)[Unitair Vektorräume ]
-    ]
-
-
     // Matrix Typem
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
         #let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
@@ -416,6 +423,18 @@
         )
     ]
 
+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform]
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische Vektorräume]
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Unitair Vektorräume ]
+    ]
+
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
 
         #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ]