Added Darstellungsmatrix

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -143,6 +143,11 @@
             $B_1, B_2, ...$ Erzeugerssystem vom gleichen $V$ \
             $=> abs(B_1)=abs(B_2)...$
 
+        
+        Vektor dratstellung durch Basis Vektoren: \
+        $ve(v) = lambda_1 ve(b_1) + lambda_2 ve(b_2) + ...$
+        - $lambda_1, lambda_2, ...$ beschreiben ein #underline[eindeutig] Punk
+
         *Basisergänzungssatz:* Sei $M = {ve(v_1), ... ve(v_n)}, ve(v_i) in V$ lin. unabhänig aber $M$ kein Basis des $V$. Dann $exists v_(n+1)$ sodass $M union {ve(v_(n+1))}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
 
         #SeperatorLine
@@ -168,14 +173,75 @@
         - Kodimension: $dim V - dim U$ 
         - Wenn $dim U = dim V <=> U = V "(Kodimension"=0")"$
         - Kodimension $= 1$ Hyperebend
-        #colbreak()
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorVR)[
         #subHeading([Darstellungs Matrix], fill: colorVR)
+
+        Matrix $equiv$ Linera Abbildung \
+
+        Sclar-Matrix Multiplikation $lambda M$ \
+        - Kommutativ, Assoziativgesetz, (keine Gruppe wege fehlender Abgeschlossenheit)
+
+        Matrix-Matrix Addtion $M + N$
+        - Kommutativ Gruppe $(KK^(n times n), +)$
+
+        Matrix-Matrix Multiplikation/Composition \
+        $M dot N equiv Phi_M compose Phi_N = Phi_M (Phi_N (ve(x)))$ \
+        $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
+
+
+        #SeperatorLine
         *Vektorraum Isomorphismus*
         - $V tilde.equiv W <=> dim(V) = dim(W)$
         - $V tilde.equiv W <=> exists f: V -> W, f "bijektiv (umkehrbar)"$
+    
+        *Koordinatensystem* Ein bestimmte Wahl von Basisvektoren/Basis $ve(b_1), ve(b_2), ...$
+
+        #SeperatorLine
+        #grid(
+            columns: (auto, 1fr),
+            column-gutter: 2mm,
+            image("../images/linAlg/BasisWechsel.jpg", height: 1.3cm),
+
+            [
+                Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $A$)\
+                Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $B$)\
+
+                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V$ und dem $KK^m slash KK^n$
+            ]
+        )
+
+        $space_A T_B$: Basiswechsel: $K^n$ (in Basis $A$) $->$ $K^n$ (in Basis $B$)
+        $space_B T_A$: Basiswechsel: $K^n$ (in Basis $B$) $->$ $K^n$ (in Basis $A$)
+
+        Wenn $V, KK^n "(in Basis A/B)"$ ein $RR^n slash CC^n$ \ ist $Phi_(A slash B) = mat(dots.v, dots.v; ve(b_1), ve(b_2), ...; dots.v, dots.v,)$, $ve(b_1), ve(b_2), ...$ \ Basisvektoren der Basis von $A slash B$
+
+        #SeperatorLine
+        *Darstellungs-Matrix*
+
+        Idee: Wir führen Abbildung $f$ nicht $A -> B$ sonderem in $KK^n -> KK^m$ durch $-->$ Darstellungs-Matrix $D$
+
+        #grid(
+            columns: (auto, 1fr),
+            column-gutter: 2mm,
+            image("../images/linAlg/DarstellungsMatrix.jpg", height: 1.6cm),
+            [
+                $f: V -> W$ Orignal Abbildung \
+                Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $A$)\
+                Vektorraum $V tilde.equiv KK^n$ (in Basis $B$)\
+
+                $Phi_A, Phi_B$ Bijektiv Mappings zwischen $V$ und dem $KK^m, KK^m$
+            ],
+        )
+
+        #grid(columns: (1fr, 1fr),
+            $D = Psi^(-1) compose f compose Phi$,
+            $$
+        )
+
+        #SeperatorLine
+
     ]
 
     #colbreak()
@@ -238,20 +304,24 @@
 
         *Bild:* Wertemenge $WW$ 
         - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
+        - Bei Matrix: $Bild(A) = spann("Spalten Vektoren")$
         - Basis $B : op("spann")(B)$
         - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
 
-        *Nullraum/Kern:* \
-        $op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$
-
         *Rang*
         $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
 
+        *Nullraum/Kern:* \
+        $kern(Phi) := {v in V | Phi(v) = 0}$
+        - $A ve(x) = ve(0)$
+
         *Dimensionssatz:* Sei $A$ lineare Abbildung \
         $dim(V) = dim(kern(A)) + dim(Bild(A))$ \
-        $dim(V) = dim(kern(A)) + Rang(A)$ \
+        $dim(V) = dim(kern(A)) + Rang(A)$
 
-        $dim(V) = dim(Bild(A)) "oder" dim(kern(A)) = 0 \ <=> A "bijektiv" <=> "invertierbar"$
+        #linebreak()
+        
+        $"Wenn" dim(V) = dim(Bild(A)) "oder" dim(kern(A)) = 0 \ <=> A "bijektiv" <=> "invertierbar"$
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
@@ -430,7 +500,22 @@
 
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
         #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Schur-Zerlegung]
-        immer anwendbar; 
+        Wenn dsa charakteristische Polynom $chi_A "von" A in CC^(n times n) slash RR^(n times n) "in" chi_A(lambda) = (lambda_1 - lambda)(lambda_2 - lambda)... "zerfällt"$ dann ist Schur-Zerlegung möglich 
+        - Gilt für $CC^(n times n)$ immer
+
+        #grid(
+            columns: (1fr, 3fr),
+            $R = B^* A B$,
+            [
+                $B:$ orthogonal/unitair $KK^(n times n)$ \
+                $R:$ Oberedreiecks Matrix $KK^(n times n)$ \
+                $B^* = B^T "für" RR, B^* = B^(-T) "für" CC$
+            ]
+        )
+
+        - $A,R$ haben die selben Eigenwerte
+        - Schur-Zerlegung ist nicht eindeutig, (Diagnoal elemen bis auf die Reihnfolge schon)
+        - Wenn $A$ diagonaliserbar $=>$ $R$ Dignoalmatrix
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
@@ -456,7 +541,8 @@
         5. $S in RR^(n times m)$ (wie $A$): \
             $S = mat(sigma_0, 0; 0, sigma_1; dots.v, dots.v; 0, 0) quad quad quad S = mat(sigma_0, 0, dots, 0; 0, sigma_1, ..., 0)$
     ]
-
+    
+    #colbreak()
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
         #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen]
 
@@ -469,8 +555,8 @@
 
         *Frobenius-Norm* $||A||_"M" = sqrt(sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n a_(m n)^2)$
 
-        *Induzierte Norm* $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V)$\
-        $ = sup_(||v|| = 1) (||A v||_V)/(||v||_V)$
+        *Induzierte Norm* \ 
+        $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V) = sup_(||v|| = 1) (||A v||_V)/(||v||_V)$
             - submultiplikativ
             - verträglich mit einer Vektornorm $||dot||_V$
 
@@ -491,7 +577,13 @@
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Differenzialgleichungen]
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Lineare Differenzialgleichungen]
+
+        $y'_1(t) &= alpha_11 &dot y_1(t) + alpha_12 dot y_2(t) + ...\
+        y'_1(t) &= alpha_11 &dot y_1(t) + alpha_12 dot y_2(t) + ... \
+        &dots.v &dots.v\
+        y'_1(t) &= alpha_11 &dot y_1(t) + alpha_12 dot y_2(t) + ...
+        $
     ]
 
     #colbreak()