Added isomorphismus

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -33,8 +33,6 @@
 #let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
 
-
-#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
 #let MathAlignLeft(e) = {
   align(left, block(e))
 }
@@ -136,7 +134,9 @@
         *Erzeugendensystem* \
         Menge $M = {ve(v_1), ve(v)_2, ve(v)_3, ...}$ ist Erzeugendensystem von UVR $U$ wenn $spann(M) = U$
 
-        *Basis:* #underline("kleinstmögliche") Erzeugendensystem \
+        #SeperatorLine
+
+        *Basis:* #underline("kleinstmögliches") Erzeugendensystem \
         - Immer linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
         - Jede Basis $B$ ist Erzeugerssystem (ABER NICHT ungekehrt)
         - Endliche Erzeugerssystem: \
@@ -145,16 +145,19 @@
 
         *Basisergänzungssatz:* Sei $M = {ve(v_1), ... ve(v_n)}, ve(v_i) in V$ lin. unabhänig aber $M$ kein Basis des $V$. Dann $exists v_(n+1)$ sodass $M union {ve(v_(n+1))}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
 
+        #SeperatorLine
+
         *Linear unabhänige:* \
         - $v$ ist linear unabhänig wenn \ $spann(M) != spann(M without {ve(v)})$
         - $M$ besteht nur aus linear unabhänig Vektoren wenn \ 
             $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für  \ $lambda_0 ve(v_0) + ... + lambda_1 ve(v_1) = ve(0)$ \
             $->$ Bei Matrizen: $A ve(v) = ve(0)$ lösen \
         - Überprüfung by Inspection
-        - Überprüfung: Spalten Vekotren ein Matrix $A : A ve(v) = 0$
-            - Nur $ve(0)$ als Lösung $<=>$ Linearunabhänig
+        - Überprüfung: Spalten Vekotren ein Matrix $A : A ve(v) = ve(0)$
+            - $ve(v)$ Nur $ve(0)$ als Lösung $<=>$ Linearunabhänig
             - $kern(A) = {ve(0)} <=>$ Linerarunabhänig
 
+        #SeperatorLine
 
         *Dimension:* 
         - $dim V = \#$Vektoren der Basis (#underline[linear unabhänigs] Erzeugendensystem)
@@ -165,7 +168,16 @@
         - Kodimension: $dim V - dim U$ 
         - Wenn $dim U = dim V <=> U = V "(Kodimension"=0")"$
         - Kodimension $= 1$ Hyperebend
+        #colbreak()
     ]
+
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading([Darstellungs Matrix], fill: colorVR)
+        *Vektorraum Isomorphismus*
+        - $V tilde.equiv W <=> dim(V) = dim(W)$
+        - $V tilde.equiv W <=> exists f: V -> W, f "bijektiv (umkehrbar)"$
+    ]
+
     #colbreak()
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
         #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
@@ -173,10 +185,10 @@
         $f(x)=y, f: A -> B$
 
         *Linear Abbildung:* $Phi: M -> N$ 
-        - $Phi(0) = 0$
-        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
+        - $Phi(0) = 0 quad quad Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
         - Menge aller linearen Abbildung: $L(M,N), space "Mengen" M,N$
         - $spann(Phi(M)) = Phi(spann(M))$
+        - $Phi_1 compose Phi_2 = Phi_1 (Phi_2(x)) = Phi$ wieder linerar
 
         *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR, 
         Bsp. jede Matrix

src/lib/common_rewrite.typ

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 #let bgBlock(body, fill: color, width: 100%) = block(body, fill:fill.lighten(80%), width: width, inset: (bottom: 2mm, left: 2mm, right: 2mm,))
 
-#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
+#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.2mm))
 #let MathAlignLeft(e) = {
   align(left, block(e))
 }