Added determinanten

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -45,6 +45,7 @@
         *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
         - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$ \
             z.B. Komposition von Funktionen
+        - Abgeschlossenheit
         *Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
         - Neutrales-/Identäts-Element: $e in M : a e = e a = a$
         *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
@@ -295,9 +296,12 @@
         - Bei Matrix: $Bild(M) = spann("Spalten Vektoren")$
         - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
 
-        *Rang*
+        *Rang:*
         $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
         - Bei Matrizen: \ $Rang(f) <= min(n, m) equiv min("#Spalten", "#Zeilen")$ 
+        - $Rang("Zeilen Vektoren") = Rang("Spalten Rang")$ 
+        - $Rang(A) = Rang(A^T)$
+        - $"#Linear unabhäniger Spalten/Zeilen"$
 
         *Nullraum/Kern:* \
         $kern(Phi) := {v in V | Phi(v) = 0}$
@@ -315,7 +319,7 @@
 
         - Homogense Lineares Gleichungsystem: $A ve(x) = ve(0) $ Lösungsmenge: $LL = kern(A)$, immer: $ve(0) in L$ \
 
-        - In-Homogense LGS: $A ve(x) = ve(b) $
+        - In-Homogense LGS: $A ve(x) = ve(b) $<<
         
         #SeperatorLine
 
@@ -336,16 +340,16 @@
             ],
         )
 
-        
-
         #grid(columns: (auto, 1fr),
-            row-gutter: 1mm,
+            row-gutter: 3mm,
             column-gutter: 2mm,
             image("../images/linAlg/Gauss2.jpg", width: 2cm),
             [
                 *Eindeutige Lösung* $-->$ Normale Rückeinsetzung
 
-                $n equiv "#Spalten" equiv dim ve(x)$
+                Nur bei $A in RR^(n times n)$ möglich
+
+                Bei qudratischen $A:$ \ $n equiv "#Spalten" equiv dim ve(x)$
 
                 $Rang(A) = n$
             ],
@@ -355,6 +359,7 @@
                 *Nullzeile*:
                 Pro Nullzeile eine frei Var $t, s, ...$
 
+                Bei qudratischen $A:$ \  $Rang(A) = n - "#Nullzeilen"$
             ],
 
             image("../images/linAlg/Gauss3.jpg", width: 2cm),
@@ -362,6 +367,14 @@
                 *Wiederspruch*: Keine Lösung
             ]
         )
+        
+        $kern(A) = dim ve(x) - Rang(A)$ (Dimensionssatz)
+
+        #SeperatorLine
+        *Matrix Invertieren*
+        #image("../images/linAlg/InverseMatrix.jpg")
+
+        $KK^(2 times 2): A = mat(a, b; c, d) \ A^(-1) = 1/det(A) mat(d, -b; -c, a) = 1/(a d - b c) mat(d, -b; -c, a) $
     ]
     
 
@@ -375,6 +388,10 @@
         - Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
         $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
 
+        $(KK^(n times n), +)$ sind Gruppe, $(KK^(n times n), dot)$ sind Monoid, 
+
+        #image("../images/linAlg/matMul.jpg")
+
         #SeperatorLine
 
         #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
@@ -394,15 +411,14 @@
             $(A^T)^T = A$,
             $(A dot B)^T = B^T dot A^T$
         )
+    ]  
 
-
-    ]
+    #colbreak()
 
     // Matrix Typem
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
         #let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
         #let colblue(x) = text(fill: blue, $#x$)
-
         #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
         #align(center, scale($colred(m "Zeilen") colblue(n "Splate")\ A in KK^(colred(m) times colblue(n))$, 120%)) #grid(columns: (1fr, 1fr),
         $quad mat(
@@ -449,6 +465,7 @@
                 *Invertierbar wenn:* \
                 $A$ bijektiv, $det(A) = 0$ \
                 $"Spalten Vekoren lin. unabhänig"$ \
+                $Rang(A) = n, A in KK^(n times n)$ \
                 $det(A) = 0$ \                
 
                 *Nicht Invertierbar wenn:*\
@@ -479,6 +496,118 @@
 
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
         #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform]
+
+        - Sclar-Produkt $ip(ve(a), ve(b))$ ist Bi-Linearform
+            - Symetrisch
+        - Determinante einer Matrix: $det(A in RR^(m times n))$ ist $n$-Linearform (sogar alternierend)
+
+        *$k$-Linearform:* Lineare $f: KK^n times KK^n times ... -> KK$
+        - Für $k=2 : $ Bi-Linerform
+        - Linearität:  \
+            $f(ve(v)_1, lambda ve(v)_2) = lambda f(ve(v)_1, ve(v)_2) \
+                f(ve(v)_1,  ve(x) + ve(y)) = f(ve(v)_1,  ve(x)) + f(ve(v)_1, ve(y))
+            $ 
+        - *Symetrisch* wenn: $f(ve(v)_1, ve(v)_2) = f(ve(v)_2, ve(v)_1), space space forall ve(v)_1, ve(v)_2 in KK^n$
+
+        - *Alternierend* wenn: $f(ve(v), ve(v)) = 0, space space forall ve(v) in KK^n$
+            - $f(ve(v)_1, ... #text(red, $ve(v)_i$),   #text(blue, $ve(v)_j$), ... ve(v)_k) = -f(ve(v)_1, ... #text(blue, $ve(v)_j$), #text(red, $ve(v)_i$), ... ve(v)_k) $
+            - Tauschung von  Argumenten $->$ Vorzeichen Flip
+            - $ve(v)_1,  ... "linear abhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) = 0$
+            - $ve(v)_1, ... "linear unabhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) != 0$, eindeutig
+        
+        #SeperatorLine
+
+        *Determinaten Form* \
+        Nicht tiviale ($f(...) = 0$) n-Linearform auf einem VR.
+        $exists$ Immer, in jeder Scalierung
+
+        Speziell für Martizen $in KK^(n times n)$ \ (Qudratische, Endomorphismus)
+
+        *Leibniz-Formel*
+
+        $det(A) = limits(sum)_(sigma in S_n) sign(sigma)( a_(sigma(1)1) dot a_(sigma(2)2) dot dots dot a_(sigma(n)n))$
+
+        $S_n := "Alle Permutation von n Element" $ \
+        $sign(sigma) = (-1)^"#Vertauschungen"$ \
+        Anzahl der Vertauschungen, die nötig sind um $sigma$ von $(1, 2, 3, ...)$ zu erzeugen \
+        $sigma(n): n$-te Element aus der Tupel $sigma$
+        
+        *Bsp:* $A in KK^(n times n)$
+        #grid(
+            columns: 9,
+            row-gutter: 1mm,
+            $S_3 =$, ${$, $(1,2,3),$, $(1,3,2),$, $(2,1,3),$, $(2,3,1),$, $(3,1,2),$, $(3,2,1)$, $}$,
+            "#Vert.", $$, 
+            align(center, $0$),
+            align(center, $1$),
+            align(center, $1$),
+            align(center, $2$),
+            align(center, $2$),
+            align(center, $1$), $$,
+            $sign(sigma)$, $$, 
+            align(center, $1$),
+            align(center, $-1$),
+            align(center, $-1$),
+            align(center, $1$),
+            align(center, $1$),
+            align(center, $-1$),
+        )
+
+        $det(A) = &(a_11 a_22 a_33) - (a_11 a_23 a_32) - (a_12 a_21 a_33) + \ 
+        &(a_12 a_23 a_31) + (a_13 a_21 a_32) - (a_13 a_22 a_31) + \
+        $
+
+        #SeperatorLine
+
+        *Regel von Saurus*
+        #grid(
+            columns: (auto, 1fr),
+            image("../images/linAlg/saurus.png", height: 1cm),
+            align(center+horizon, $= a_11 a_22 a_33 + a_12 a_23 a_31 + a_13 a_21 a_32 \ 
+            - a_13 a_22 a_31 - a_12 a_21 a_33 - a_11 a_23 a_32
+            $)
+        )
+
+        *Laplace Entwicklung*
+
+        #grid(
+            columns: (auto, 1fr),
+            column-gutter: 2mm,
+            image("../images/linAlg/laplace.jpg", height: 2cm),
+            [
+                - Nach Spalte oder Zeile Entwicklung
+                - #underline([Auf Vorzeichen Achten!!!])
+                - Zeilen mit vielen Nuller wählen
+            ]
+        )
+
+        *Determinate Tricke-Kiste*
+
+        - Orthogonal-Matrix: $det(A) = 1$
+        - Diagonal-/Oberdreiecks-/Unterdreick-Matrix: \ $det(A) = product a_(i i)$
+        - $det(A) = product lambda_(i i) "(Eigenwerte)"$
+
+        - Partionen: $mat(A, B; 0, C) slash mat(A, 0; B, C) -> det(A) = det(A) dot det(C)$
+
+        #grid(
+            columns: (1fr, 1fr),
+            column-gutter: 2mm,
+            row-gutter: 2mm,
+            $A,B in KK^(n times n) :$, $$,
+            $det(A dot B) = det A dot det B$,
+            $det(A^(-1)) = 1/det(A)$,
+            $det(A) = det(A^T)$,
+            $det(lambda A) = lambda^n det(A)$,
+            $det mat(a, b; c, d) = a d - b c$,
+        )
+
+        Elementare (Gauß) Zeilen Umfohrungen kann man machen
+
+        NICHT Qudratischen Matrizen $det(D)$ nicht definiert, Nur für Endomorphisen
+
+        $det(A) = 0 <=> "invertierbar" <=> "bijektiv"$
+
+
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorVR)[
@@ -604,9 +733,9 @@
 
         1. $A A^T$ berechnen $A A^T in RR^(m times m)$
 
-        2. $A A^T$ diagonalisieren in $R$, $D$
+        2. $A A^T$ diagonalisieren in $R$, $D$ (dabei EWs, EVs berechen)
 
-        3. Singulärwere berechen: $sigma_i = sqrt(lambda_i) $
+        3. Singulärwerte berechen: $sigma_i = sqrt(lambda_i) $
         
         4. $l_i = 1/sigma_i A v_(lambda i) quad quad L = mat( |, |, ..., |; l_0, l_1, ..., l_m; |, |, ..., |)$ \
             (Evt. zu ONB ergenze mit Gram-Schmit/Kreuzprodukt)

src/lib/mathExpressions.typ

@@ -8,7 +8,8 @@
 #let Eig(x) = $op("Eig")(#x)$
 #let ve(x) = math.op($overline(#x)$)
 #let lim = $limits("lim")$
-#let ip(x, y) = $lr(angle.l #x, #y angle.r)$
+#let ip(x, y) = math.op($lr(angle.l #x, #y angle.r)$)
+#let sign(x) = math.op($op("sign")(#x)$)
 
 #show math.integral: it => math.limits(math.integral)
 #show math.sum: it => math.limits(math.sum)