Added Color Boxes
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#let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
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#let bgBlock(body, fill: color) = block(body, fill:fill.lighten(80%), width: 100%, inset: (bottom: 2mm))
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#columns(4, gutter: 2mm)[
|
||||
#subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins])
|
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#grid(
|
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columns: (auto, auto),
|
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row-gutter: 2mm,
|
||||
column-gutter: 3mm,
|
||||
[Dreiecksungleichung], [
|
||||
$abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
|
||||
$abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$
|
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],
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||||
[Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
|
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$abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
|
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],
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||||
[Geometrische Summenformel], [
|
||||
#MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
|
||||
],
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||||
[Bernoulli-Ungleichung ], [
|
||||
#bgBlock(fill: colorAllgemein)[
|
||||
#subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins])
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (auto, auto),
|
||||
row-gutter: 2mm,
|
||||
column-gutter: 3mm,
|
||||
[Dreiecksungleichung], [
|
||||
$abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
|
||||
$abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$
|
||||
],
|
||||
[Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
|
||||
$abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
|
||||
],
|
||||
[Geometrische Summenformel], [
|
||||
#MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
|
||||
],
|
||||
[Bernoulli-Ungleichung ], [
|
||||
$(1 + a)^n >= 1 + n a$
|
||||
],
|
||||
[Binomialkoeffizient], [
|
||||
$binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
|
||||
],
|
||||
[Binomische Formel], [
|
||||
#MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
|
||||
],
|
||||
[Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],
|
||||
)
|
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]
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|
||||
#bgBlock(fill: colorFolgen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen])
|
||||
$ lim_(x -> infinity) a_n $
|
||||
|
||||
*Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
|
||||
- Beweiße: durch Induktion
|
||||
- Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
|
||||
- (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)
|
||||
|
||||
*Monoton fallend/steigended*
|
||||
- Beweise: Induktion
|
||||
#grid(columns: (1fr, 1fr),
|
||||
gutter: 1mm,
|
||||
row-gutter: 2mm,
|
||||
align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
|
||||
[$ a_(n+1) <= a_(n) $],
|
||||
[$ a_(n+1) >= a_(n) $],
|
||||
[$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
|
||||
[$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
|
||||
)
|
||||
|
||||
*Konvergentz Allgemein*
|
||||
$ lim_(n -> infinity) a_n = a $
|
||||
|
||||
$forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
|
||||
- Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
|
||||
- Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
|
||||
- Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $
|
||||
|
||||
$space forall n > n_epsilon$
|
||||
|
||||
*Konvergentz Häufungspunkte*
|
||||
- $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$
|
||||
|
||||
*Konvergenz Beweißen*
|
||||
- Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
|
||||
NICHT Umgekehert
|
||||
- (Cauchyfolge \
|
||||
$forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
|
||||
$forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
|
||||
Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
|
||||
- $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
|
||||
|
||||
*Konvergent Grenzwert finden*
|
||||
- Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
|
||||
- Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
|
||||
für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
|
||||
- Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
|
||||
$(1 + a)^n >= 1 + n a$
|
||||
],
|
||||
[Binomialkoeffizient], [
|
||||
$binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
|
||||
],
|
||||
[Binomische Formel], [
|
||||
#MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
|
||||
],
|
||||
[Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],
|
||||
)
|
||||
- Sandwitchtheorem:\
|
||||
$b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
|
||||
$b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
|
||||
$b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
|
||||
- Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
|
||||
(Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#bgBlock(fill: colorFolgen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln])
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (auto, auto),
|
||||
align: bottom,
|
||||
gutter: 2mm,
|
||||
[$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
|
||||
grid.cell(
|
||||
rowspan: 2,
|
||||
[$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
|
||||
),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen])
|
||||
$ lim_(x -> infinity) a_n $
|
||||
#bgBlock(fill: colorFolgen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen])
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (auto, auto, auto),
|
||||
column-gutter: 4mm,
|
||||
row-gutter: 2mm,
|
||||
align: bottom,
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
*Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
|
||||
- Beweiße: durch Induktion
|
||||
- Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
|
||||
- (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)
|
||||
#bgBlock(fill: colorFolgen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen])
|
||||
$ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
|
||||
- Index muss streng monoton steigen!
|
||||
- Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
|
||||
- Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
|
||||
- Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent
|
||||
]
|
||||
|
||||
*Monoton fallend/steigended*
|
||||
- Beweise: Induktion
|
||||
#grid(columns: (1fr, 1fr),
|
||||
gutter: 1mm,
|
||||
row-gutter: 2mm,
|
||||
align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
|
||||
[$ a_(n+1) <= a_(n) $],
|
||||
[$ a_(n+1) >= a_(n) $],
|
||||
[$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
|
||||
[$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
|
||||
)
|
||||
#bgBlock(fill: colorReihen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen])
|
||||
]
|
||||
|
||||
*Konvergentz Allgemein*
|
||||
$ lim_(n -> infinity) a_n = a $
|
||||
|
||||
$forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
|
||||
- Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
|
||||
- Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
|
||||
- Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $
|
||||
|
||||
$space forall n > n_epsilon$
|
||||
|
||||
*Konvergentz Häufungspunkte*
|
||||
- $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$
|
||||
|
||||
*Konvergenz Beweißen*
|
||||
- Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
|
||||
NICHT Umgekehert
|
||||
- (Cauchyfolge \
|
||||
$forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
|
||||
$forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
|
||||
Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
|
||||
- $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
|
||||
|
||||
*Konvergent Grenzwert finden*
|
||||
- Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
|
||||
- Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
|
||||
für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
|
||||
- Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
|
||||
$(1 + a)^n >= 1 + n a$
|
||||
- Sandwitchtheorem:\
|
||||
$b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
|
||||
$b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
|
||||
$b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
|
||||
- Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
|
||||
(Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln])
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (auto, auto),
|
||||
align: bottom,
|
||||
gutter: 2mm,
|
||||
[$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
|
||||
grid.cell(
|
||||
rowspan: 2,
|
||||
[$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
|
||||
),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
|
||||
)
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen])
|
||||
#grid(
|
||||
columns: (auto, auto, auto),
|
||||
column-gutter: 4mm,
|
||||
row-gutter: 2mm,
|
||||
align: bottom,
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
|
||||
MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
|
||||
grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
|
||||
)
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen])
|
||||
$ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
|
||||
- Index muss streng monoton steigen!
|
||||
- Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
|
||||
- Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
|
||||
- Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen])
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen])
|
||||
#bgBlock(fill: colorReihen)[
|
||||
#subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen])
|
||||
]
|
||||
|
||||
#colbreak()
|
||||
#subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen])
|
||||
- $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
|
||||
#MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
|
||||
- $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
|
||||
|
||||
#subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung])
|
||||
#grid(
|
||||
row-gutter: 3mm,
|
||||
columns: (1fr, 1fr),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
|
||||
),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
|
||||
),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
|
||||
),
|
||||
[$f(x) = c : f'(x) = 0$],
|
||||
[$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
|
||||
[$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
|
||||
)
|
||||
#bgBlock(fill: colorAbleitung)[
|
||||
#subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen])
|
||||
- $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
|
||||
#MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
|
||||
- $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
|
||||
]
|
||||
|
||||
#bgBlock(fill: colorAbleitung)[
|
||||
#subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung])
|
||||
#grid(
|
||||
row-gutter: 3mm,
|
||||
columns: (1fr, 1fr),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
|
||||
),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
|
||||
),
|
||||
grid.cell(
|
||||
colspan: 2,
|
||||
[#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
|
||||
),
|
||||
[$f(x) = c : f'(x) = 0$],
|
||||
[$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
|
||||
[$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
|
||||
)
|
||||
]
|
||||
|
||||
#colbreak()
|
||||
]
|
||||
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