TUM-Formelsammlungen/src/Analysis_rewrite.typ

#set page(
  paper: "a4", 
  margin: (
    bottom: 10mm,
    top: 5mm,
    left: 5mm,
    right: 5mm
  ),
  flipped:true,
  numbering: "— 1 —",
  number-align: center
)

#set text(
  size: 8pt,
)

#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
  [Analysis 1 (IE)]
))



#let subHeading(it: content, fill: color) = {
  box(
    align(
      top+center,
      text(
        it,
        size: 10pt,
        weight: "regular",
        style: "italic",
      )
    ),
    fill: fill,
    width: 100%,
    inset: 1mm,
    height: auto
  )
}

#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
#let MathAlignLeft(e) = {
  align(left, block(e))
}

#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)

#let bgBlock(body, fill: color) = block(body, fill:fill.lighten(80%), width: 100%, inset: (bottom: 2mm))

#columns(4, gutter: 2mm)[
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins])
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      row-gutter: 2mm,
      column-gutter: 3mm,
      [Dreiecksungleichung], [
        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$
      ],
      [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
      ],
      [Geometrische Summenformel], [
        #MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
      ],
      [Bernoulli-Ungleichung ], [
        $(1 + a)^n >= 1 + n a$
      ],
      [Binomialkoeffizient], [
        $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
      ],
      [Binomische Formel], [
        #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
      ],
      [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen])
    $ lim_(x -> infinity) a_n $

    *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
    - Beweiße: durch Induktion
    - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
    - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)

    *Monoton fallend/steigended*
    - Beweise: Induktion
    #grid(columns: (1fr, 1fr),
      gutter: 1mm,
      row-gutter: 2mm,
      align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
      [$ a_(n+1) <= a_(n) $],
      [$ a_(n+1) >= a_(n) $],
      [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
      [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
    )

    *Konvergentz Allgemein*
    $ lim_(n -> infinity) a_n = a $

    $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
    - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
    - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
    - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $

    $space forall n > n_epsilon$

    *Konvergentz Häufungspunkte*
    - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$

    *Konvergenz Beweißen*
    - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
      NICHT Umgekehert
    - (Cauchyfolge \
      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz

    *Konvergent Grenzwert finden*
    - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
    - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
      für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
    - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
      $(1 + a)^n >= 1 + n a$
    - Sandwitchtheorem:\
      $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
    - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
      (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln])
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      align: bottom,
      gutter: 2mm,
      [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
      grid.cell(
        rowspan:  2,
        [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
      ),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen])
    #grid(
      columns: (auto, auto, auto),
      column-gutter: 4mm,
      row-gutter: 2mm,
      align: bottom,
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen])
    $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
    - Index muss streng monoton steigen!
    - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
    - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
    - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
  ]

  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen])
  ]

  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen])
  ]

  #colbreak()

  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen])
    - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
      #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
    - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
  ]

  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung])
    #grid(
      row-gutter: 3mm,
      columns: (1fr, 1fr),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
      ),
      [$f(x) = c : f'(x) = 0$],
      [$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
      [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
    )
  ]

  #colbreak()
]