diff --git a/src/Analysis_rewrite.typ b/src/Analysis_rewrite.typ index 2c2e899..cb316ba 100644 --- a/src/Analysis_rewrite.typ +++ b/src/Analysis_rewrite.typ @@ -50,159 +50,177 @@ #let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%) #let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%) +#let bgBlock(body, fill: color) = block(body, fill:fill.lighten(80%), width: 100%, inset: (bottom: 2mm)) + #columns(4, gutter: 2mm)[ - #subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins]) - #grid( - columns: (auto, auto), - row-gutter: 2mm, - column-gutter: 3mm, - [Dreiecksungleichung], [ - $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ - $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ - ], - [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [ - $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ - ], - [Geometrische Summenformel], [ - #MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $) - ], - [Bernoulli-Ungleichung ], [ + #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ + #subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins]) + #grid( + columns: (auto, auto), + row-gutter: 2mm, + column-gutter: 3mm, + [Dreiecksungleichung], [ + $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ + $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ + ], + [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [ + $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ + ], + [Geometrische Summenformel], [ + #MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $) + ], + [Bernoulli-Ungleichung ], [ + $(1 + a)^n >= 1 + n a$ + ], + [Binomialkoeffizient], [ + $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ + ], + [Binomische Formel], [ + #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $) + ], + [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $], + ) + ] + + #bgBlock(fill: colorFolgen)[ + #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen]) + $ lim_(x -> infinity) a_n $ + + *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$ + - Beweiße: durch Induktion + - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge + - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$) + + *Monoton fallend/steigended* + - Beweise: Induktion + #grid(columns: (1fr, 1fr), + gutter: 1mm, + row-gutter: 2mm, + align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]), + [$ a_(n+1) <= a_(n) $], + [$ a_(n+1) >= a_(n) $], + [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $], + [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $], + ) + + *Konvergentz Allgemein* + $ lim_(n -> infinity) a_n = a $ + + $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \ + - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $ + - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $ + - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $ + + $space forall n > n_epsilon$ + + *Konvergentz Häufungspunkte* + - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$ + + *Konvergenz Beweißen* + - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz + NICHT Umgekehert + - (Cauchyfolge \ + $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ + $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ + Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) + - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz + + *Konvergent Grenzwert finden* + - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen + - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \ + für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!) + - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \ $(1 + a)^n >= 1 + n a$ - ], - [Binomialkoeffizient], [ - $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ - ], - [Binomische Formel], [ - #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $) - ], - [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $], - ) + - Sandwitchtheorem:\ + $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \ + $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ + $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ + - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ + (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) + ] + #bgBlock(fill: colorFolgen)[ + #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln]) + #grid( + columns: (auto, auto), + align: bottom, + gutter: 2mm, + [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $], + grid.cell( + rowspan: 2, + [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)], + ), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), + ) + ] - #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen]) - $ lim_(x -> infinity) a_n $ + #bgBlock(fill: colorFolgen)[ + #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen]) + #grid( + columns: (auto, auto, auto), + column-gutter: 4mm, + row-gutter: 2mm, + align: bottom, + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), + MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), + grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [], + grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [], + grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)) + ) + ] - *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$ - - Beweiße: durch Induktion - - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge - - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$) + #bgBlock(fill: colorFolgen)[ + #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen]) + $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $ + - Index muss streng monoton steigen! + - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$ + - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte + - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent + ] - *Monoton fallend/steigended* - - Beweise: Induktion - #grid(columns: (1fr, 1fr), - gutter: 1mm, - row-gutter: 2mm, - align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]), - [$ a_(n+1) <= a_(n) $], - [$ a_(n+1) >= a_(n) $], - [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $], - [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $], - ) + #bgBlock(fill: colorReihen)[ + #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen]) + ] - *Konvergentz Allgemein* - $ lim_(n -> infinity) a_n = a $ - - $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \ - - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $ - - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $ - - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $ - - $space forall n > n_epsilon$ - - *Konvergentz Häufungspunkte* - - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$ - - *Konvergenz Beweißen* - - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz - NICHT Umgekehert - - (Cauchyfolge \ - $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ - $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ - Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) - - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz - - *Konvergent Grenzwert finden* - - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen - - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \ - für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!) - - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \ - $(1 + a)^n >= 1 + n a$ - - Sandwitchtheorem:\ - $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \ - $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ - $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ - - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ - (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) - - #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln]) - #grid( - columns: (auto, auto), - align: bottom, - gutter: 2mm, - [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $], - grid.cell( - rowspan: 2, - [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)], - ), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), - ) - - #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen]) - #grid( - columns: (auto, auto, auto), - column-gutter: 4mm, - row-gutter: 2mm, - align: bottom, - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [], - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [], - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)) - ) - - #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen]) - $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $ - - Index muss streng monoton steigen! - - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$ - - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte - - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent - - - - #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen]) - - #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen]) + #bgBlock(fill: colorReihen)[ + #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen]) + ] #colbreak() - #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen]) - - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \ - #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $) - - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig - - #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung]) - #grid( - row-gutter: 3mm, - columns: (1fr, 1fr), - grid.cell( - colspan: 2, - [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $] - ), - grid.cell( - colspan: 2, - [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $] - ), - grid.cell( - colspan: 2, - [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)] - ), - [$f(x) = c : f'(x) = 0$], - [$c dot f(x) : c dot f'(x)$], - [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$], - ) + + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen]) + - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \ + #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $) + - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig + ] + + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung]) + #grid( + row-gutter: 3mm, + columns: (1fr, 1fr), + grid.cell( + colspan: 2, + [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $] + ), + grid.cell( + colspan: 2, + [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $] + ), + grid.cell( + colspan: 2, + [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)] + ), + [$f(x) = c : f'(x) = 0$], + [$c dot f(x) : c dot f'(x)$], + [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$], + ) + ] #colbreak() ] \ No newline at end of file