#set page( paper: "a4", margin: ( bottom: 10mm, top: 5mm, left: 5mm, right: 5mm ), flipped:true, numbering: "— 1 —", number-align: center ) #set text( size: 8pt, ) #place(top+center, scope: "parent", float: true, heading( [Analysis 1 (IE)] )) #let subHeading(it: content, fill: color) = { box( align( top+center, text( it, size: 10pt, weight: "regular", style: "italic", ) ), fill: fill, width: 100%, inset: 1mm, height: auto ) } #let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm)) #let MathAlignLeft(e) = { align(left, block(e)) } #let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%) #let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%) #let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%) #let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%) #let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%) #let bgBlock(body, fill: color) = block(body, fill:fill.lighten(80%), width: 100%, inset: (bottom: 2mm)) #columns(4, gutter: 2mm)[ #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ #subHeading(fill: colorAllgemein, it: [Allgemeins]) #grid( columns: (auto, auto), row-gutter: 2mm, column-gutter: 3mm, [Dreiecksungleichung], [ $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ ], [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [ $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ ], [Geometrische Summenformel], [ #MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $) ], [Bernoulli-Ungleichung ], [ $(1 + a)^n >= 1 + n a$ ], [Binomialkoeffizient], [ $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ ], [Binomische Formel], [ #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $) ], [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $], ) ] #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen]) $ lim_(x -> infinity) a_n $ *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$ - Beweiße: durch Induktion - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$) *Monoton fallend/steigended* - Beweise: Induktion #grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 1mm, row-gutter: 2mm, align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]), [$ a_(n+1) <= a_(n) $], [$ a_(n+1) >= a_(n) $], [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $], [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $], ) *Konvergentz Allgemein* $ lim_(n -> infinity) a_n = a $ $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \ - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $ - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $ - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $ $space forall n > n_epsilon$ *Konvergentz Häufungspunkte* - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$ *Konvergenz Beweißen* - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz NICHT Umgekehert - (Cauchyfolge \ $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz *Konvergent Grenzwert finden* - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \ für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!) - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \ $(1 + a)^n >= 1 + n a$ - Sandwitchtheorem:\ $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \ $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) ] #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln]) #grid( columns: (auto, auto), align: bottom, gutter: 2mm, [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $], grid.cell( rowspan: 2, [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)], ), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), ) ] #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen]) #grid( columns: (auto, auto, auto), column-gutter: 4mm, row-gutter: 2mm, align: bottom, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [], grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [], grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)) ) ] #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen]) $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $ - Index muss streng monoton steigen! - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$ - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent ] #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen]) ] #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen]) ] #colbreak() #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen]) - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \ #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $) - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig ] #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung]) #grid( row-gutter: 3mm, columns: (1fr, 1fr), grid.cell( colspan: 2, [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $] ), grid.cell( colspan: 2, [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $] ), grid.cell( colspan: 2, [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)] ), [$f(x) = c : f'(x) = 0$], [$c dot f(x) : c dot f'(x)$], [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$], ) ] #colbreak() ]