added some stuff to analysis

src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -215,6 +215,8 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
 
       Kann auch Reksuive angewendet werden!
 
+      Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$
+
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
@@ -347,7 +349,8 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     - *Monotonie* \
       $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \
       $x_0,x_1 in I,  x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \
-      (Analog bei (streng ) steigned/fallended)
+      (Analog bei (streng ) steigned/fallended) \
+      Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ 
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
@@ -470,20 +473,36 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
   #bgBlock(fill: colorIntegral, [
     #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
 
+    Wenn $f(x)$ stetig und monoton $=>$ intbar
+
     Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$
 
     Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$
 
+    *Ungleichung:* \
+    $f(x) <= q(x) forall x in [a,b] => integral_a^b f(x) d x <= integral_a^b g(x) d x$ \
+    $abs(integral_a^b f(x) d x) <= integral_a^b abs(f(x)) d x$
+
+    *Hauptsatz der Integralrechung*
+
+    Sei $f: [a,b] -> RR$ stetig
+
+    $F(x) = integral_a^x f(t) d t, x in [a,b]$\
+    $=> F'(x) = f(x) forall x in [a,b]$
+
     *Partial Integration*
     
     $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$
 
+    $integral_a^b u(x) dot v'(x) d x = [u(x)v(x)]_a^b - integral_a^b u'(x) dot v(x)$
+
     *Subsitution*
 
     $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
     
-    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
-    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
+    1. Ersetzung: $t := g(x)$
+    2. Umformen:
+      $(d y)/(d x) = g'(x)$
     3. $x$-kürzen sich weg
   ])