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2026-02-21 19:00:03 +01:00
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182
src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
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@@ -98,7 +98,38 @@
#ComplexNumbersSection() #ComplexNumbersSection()
] ]
#colbreak() // Matrix Typen
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
#let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
#let colblue(x) = text(fill: blue, $#x$)
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
#align(center, scale($colred(m "Zeilen") colblue(n "Splate") A in KK^(colred(m) times colblue(n))$, 110%)) #grid(columns: (1fr, 1fr),
$quad mat(
a_11, a_12, ..., a_(1n);
a_21, a_22, ..., a_(2n);
dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
a_(m 1), a_(m 2), ..., a_(m n)
)
$,
cetz.canvas({
import cetz.draw : *
let scale = 0.76;
rect((0, 0), (1*scale, 1*scale), fill: rgb("#9292926b"))
set-style(mark: (end: (symbol: "straight")))
line((0, -0.2*scale), (1*scale, -0.2*scale), stroke: (paint: blue, thickness: 0.3mm))
line((-0.2*scale, 1*scale), (-0.2*scale, 0), stroke: (paint: red, thickness: 0.3mm))
content((-0.45*scale, 0.5*scale), $colred(bold(m))$)
content((0.5*scale, -0.35*scale), $colblue(bold(n))$)
content((0.5*scale, 0.5*scale), $A$)
})
)
]
// Vektorräume
#bgBlock(fill: colorVR)[ #bgBlock(fill: colorVR)[
#subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)] #subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$) \ Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$) \
@@ -121,6 +152,7 @@
) )
] ]
// Spann Erzeugendessystem ect
#bgBlock(fill: colorVR)[ #bgBlock(fill: colorVR)[
#subHeading(fill: colorVR)[Spann, Erzeugendensystem, Basis, Dim] #subHeading(fill: colorVR)[Spann, Erzeugendensystem, Basis, Dim]
$"Sei" V "ein" KK"-VR"\ M = {ve(v_1), ve(v)_2, ve(v)_3, ...}, ve(v_i) in V "Menge von Vektoren"$ $"Sei" V "ein" KK"-VR"\ M = {ve(v_1), ve(v)_2, ve(v)_3, ...}, ve(v_i) in V "Menge von Vektoren"$
@@ -230,9 +262,44 @@
#SeperatorLine #SeperatorLine
Normalweiße alle Abbildung/Matrizen in Kannoischer Basis $hat(e)_1 = vec(1, 0, dots.v), hat(e)_2 = vec(0, 1, dots.v), ...$ Normalweiße alle Abbildung/Matrizen in Kannoischer Basis $hat(e)_1 = vec(1, 0, dots.v), hat(e)_2 = vec(0, 1, dots.v), ...$
] ]
// Matrix Basics
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Basics]
Linera Abbildung $equiv$ EINER eindeutige Matrix \
- Sclar/Matrix: $lambda dot A$
- Matrix/Matrix: $A + B$
- Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
$c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
$(KK^(n times n), +)$ sind Gruppe, $(KK^(n times n), dot)$ sind Monoid,
#image("../images/linAlg/matMul.jpg")
#SeperatorLine
#grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
row-gutter: 2mm,
align(center, $(lambda mu) A = lambda (mu A)$),
grid.cell(colspan: 2, align(center, $(lambda + mu) A = lambda A + mu A$)),
align(center, $$),
grid.cell(colspan: 2, align(center, $lambda (A + B) = lambda A + lambda B$)),
)
*Transponieren*
#grid(columns: (1fr, 1fr),
row-gutter: 2mm,
$(A + B)^T = A^T + B^T$,
$(lambda A)^T = lambda A^T$,
$(A^T)^T = A$,
$(A dot B)^T = B^T dot A^T$
)
]
#colbreak() #colbreak()
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
#subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen) #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
@@ -378,73 +445,8 @@
] ]
// Matrix Basics
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Basics]
Linera Abbildung $equiv$ EINER eindeutige Matrix \
- Sclar/Matrix: $lambda dot A$
- Matrix/Matrix: $A + B$
- Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
$c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
$(KK^(n times n), +)$ sind Gruppe, $(KK^(n times n), dot)$ sind Monoid,
#image("../images/linAlg/matMul.jpg")
#SeperatorLine
#grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
row-gutter: 2mm,
align(center, $(lambda mu) A = lambda (mu A)$),
grid.cell(colspan: 2, align(center, $(lambda + mu) A = lambda A + mu A$)),
align(center, $$),
grid.cell(colspan: 2, align(center, $lambda (A + B) = lambda A + lambda B$)),
)
*Transponieren*
#grid(columns: (1fr, 1fr),
row-gutter: 2mm,
$(A + B)^T = A^T + B^T$,
$(lambda A)^T = lambda A^T$,
$(A^T)^T = A$,
$(A dot B)^T = B^T dot A^T$
)
]
#colbreak() #colbreak()
// Matrix Typem
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
#let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
#let colblue(x) = text(fill: blue, $#x$)
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
#align(center, scale($colred(m "Zeilen") colblue(n "Splate")\ A in KK^(colred(m) times colblue(n))$, 120%)) #grid(columns: (1fr, 1fr),
$quad mat(
a_11, a_12, ..., a_(1n);
a_21, a_22, ..., a_(2n);
dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
a_(m 1), a_(m 2), ..., a_(m n)
)
$,
cetz.canvas({
import cetz.draw : *
rect((0, 0), (1, 1), fill: rgb("#9292926b"))
set-style(mark: (end: (symbol: "straight")))
line((0, -0.2), (1, -0.2), stroke: (paint: blue, thickness: 0.3mm))
line((-0.2, 1), (-0.2, 0), stroke: (paint: red, thickness: 0.3mm))
content((-0.45, 0.5), $colred(bold(m))$)
content((0.5, -0.35), $colblue(bold(n))$)
content((0.5, 0.5), $A$)
})
)
]
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
#subHeading(fill: colorAbbildungen)[Linearform] #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Linearform]
@@ -454,7 +456,7 @@
*$k$-Linearform:* Lineare $f: KK^n times KK^n times ... -> KK$ *$k$-Linearform:* Lineare $f: KK^n times KK^n times ... -> KK$
- Für $k=2 : $ Bi-Linerform - Für $k=2 : $ Bi-Linerform
- Linearität: \ - Linearität: (in beiden Argumente) \
$f(ve(v)_1, lambda ve(v)_2) = lambda f(ve(v)_1, ve(v)_2) \ $f(ve(v)_1, lambda ve(v)_2) = lambda f(ve(v)_1, ve(v)_2) \
f(ve(v)_1, ve(x) + ve(y)) = f(ve(v)_1, ve(x)) + f(ve(v)_1, ve(y)) f(ve(v)_1, ve(x) + ve(y)) = f(ve(v)_1, ve(x)) + f(ve(v)_1, ve(y))
$ $
@@ -465,12 +467,6 @@
- Tauschung von Argumenten $->$ Vorzeichen Flip - Tauschung von Argumenten $->$ Vorzeichen Flip
- $ve(v)_1, ... "linear abhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) = 0$ - $ve(v)_1, ... "linear abhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) = 0$
- $ve(v)_1, ... "linear unabhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) != 0$, eindeutig - $ve(v)_1, ... "linear unabhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) != 0$, eindeutig
- *Positiv definite symetrisch Bilinearform*
- $equiv$ Skalarprodukt $ip(dot, dot)$ in $RR$
- $f(ve(v)_1, ve(v)_2) = f(ve(v)_2, ve(v)_1), space space forall ve(v)_1, ve(v)_2 in KK^n$
- linear in beiden Argumenten
- $f(ve(v), ve(v)) > 0, v in V without {ve(0)}$
] ]
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
@@ -483,10 +479,10 @@
Speziell für Martizen $in KK^(n times n)$ \ (Qudratische, Endomorphismus) Speziell für Martizen $in KK^(n times n)$ \ (Qudratische, Endomorphismus)
*Herleitung:* *Herleitung:*
Für die $det equiv delta$: $delta(e_1, e_2, e_3, ...) = 1$, alternierend und n-linearform Für die $det equiv delta$: $delta(ve(e)_1, ve(e)_2, ve(e)_3, ...) = 1$, alternierend und n-Linearform
1. Mit Linearität zerlegen 1. Mit Linearität zerlegen
2. Mit Alterniered, Element tauschen: $delta(e_1, e_2, e_3, ...) dot ...$ 2. Mit Alterniered, Element tauschen: $delta(ve(e)_1, ve(e)_2, ve(e)_3, ...) dot ...$
*Leibniz-Formel* *Leibniz-Formel*
@@ -576,23 +572,27 @@
] ]
#bgBlock(fill: colorVR)[ #bgBlock(fill: colorVR)[
#subHeading(fill: colorVR)[Eukldische/Unitair Vektorräume] #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische VRs]
*Kannonische Scalar Produkt* - *Skalarprodukt:* Positiv definite symetrisch Bilinearform
- $equiv$ Skalarprodukt $ip(dot, dot)$ in $RR$
$ip(ve(x), ve(y)) := limits(sum)_(i=1)^n x_i y_i$ - $f(ve(v)_1, ve(v)_2) = f(ve(v)_2, ve(v)_1), space space forall ve(v)_1, ve(v)_2 in KK^n$
- Positiv definit: $ip(ve(x), ve(x)) > 0$
- Linear in beiden Argument: \ - Linear in beiden Argument: \
$ip(lambda ve(x), ve(y)) = lambda ip(ve(x), ve(y))$\ $ip(lambda ve(x), ve(y)) = lambda ip(ve(x), ve(y))$\
$ip(ve(x) + ve(a), ve(y)) = ip(ve(x), ve(y)) + ip(ve(a), ve(y))$ $ip(ve(x) + ve(a), ve(y)) = ip(ve(x), ve(y)) + ip(ve(a), ve(y))$
- $f(ve(v), ve(v)) > 0, v in V without {ve(0)}$
*Kannonische Scalar Produkt* $ip(ve(x), ve(y)) := limits(sum)_(i=1)^n x_i y_i$
- Positiv definit: $ip(ve(x), ve(x)) > 0$
#SeperatorLine
*Norm* *Norm*
- $norm(ve(v)) = 0 <=> ve(v) = ve(0)$ - $norm(ve(v)) = 0 <=> ve(v) = ve(0)$
- $norm(lambda ve(v)) = abs(lambda) norm(ve(v))$ - $norm(lambda ve(v)) = abs(lambda) norm(ve(v))$
- Dreieckesungleichung: $norm(x + y) <= norm(x) + norm(y)$ - Dreieckesungleichung: $norm(x + y) <= norm(x) + norm(y)$
Generisch/$L_p$-Norm: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$ *Generisch/$L_p$-Norm*: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$
*Induzierte Norm:* $norm(ve(v)) = sqrt(ip(ve(v), ve(v)))$ (Bliebiges $ip(dot, dot)$) *Induzierte Norm:* $norm(ve(v)) = sqrt(ip(ve(v), ve(v)))$ (Bliebiges $ip(dot, dot)$)
@@ -603,8 +603,7 @@
- Gilt in Eukldische Vektoraum - Gilt in Eukldische Vektoraum
- Gilt nur mit aus Eukldischer Norm - Gilt nur mit aus Eukldischer Norm
*Euklidsche Vektorraum:* *Euklidsche Vektorraum:* $ = (RR^n"-VR", ip(dot, dot))$, (Irgendeine Skalarprodukt
- $ = (RR^n"-Vekorraum", ip(dot, dot))$, (Irgendeine Skalarprodukt)
- Eigenschaften: - Eigenschaften:
- Polarisation: $ip(v, w) = 1/4 (norm(v + w)^2 - norm(v -w )^2)$ - Polarisation: $ip(v, w) = 1/4 (norm(v + w)^2 - norm(v -w )^2)$
- Parallelogrammgleichung: \ - Parallelogrammgleichung: \
@@ -615,13 +614,14 @@
*Ortho#text(red)[normal] Vektoren:* $ip(v, w) = 0$ UND $norm(v),norm(w) = 1$ *Ortho#text(red)[normal] Vektoren:* $ip(v, w) = 0$ UND $norm(v),norm(w) = 1$
#SeperatorLine #SeperatorLine
#colbreak() *Orthogonal Projektion* $pi_U(v) = limits(sum)_(i=1)^k ip(v, u_i) u_i$
*Orthogonal Projektion*
$U subset V$ Untervektorraum eines Eukldische VRs $V$, $U$ orthogo#text(red)[normal]: $pi_U(v) = limits(sum)_(i=1)^k ip(v, u_i) u_i$ $U subset V$ Untervektorraum eines Eukldische VRs $V$, \ $U$ in orthogo#text(red)[normal] Basis:
] ]
#colbreak()
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[ #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ] #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ]
@@ -667,14 +667,14 @@
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[ #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB] #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB]
Idee: $ip("Orth"#text(red)[normal] v, x) = "Anteil von" x "an" v$ \ Idee: $ip("Orth"#text(red)[normal] ve(v), ve(x)) = "Anteil von" ve(x) "an" ve(v)$ \
Ziel: Basis $W -->$ Orthogonal Bais $V$ Ziel: Basis $W -->$ Orthogonal Basis $V$
1. $v_1 = 1/norm(w_1)$ 1. $v_1 = 1/norm(w_1)$
2. $hat(v)_(j+1) = w_(j+1) -ip(w_(j+1), v_1)v_1 - ip(w_(j+2), v_2)v_2 ... $ 2. $hat(v)_(j+1) = w_(j+1) -ip(w_(j+1), v_1)v_1 - ip(w_(j+2), v_2)v_2 ... $
3. $v_(j+1) = hat(v)_(j+1)/norm(hat(v)_(j+1))$ 3. $v_(j+1) = hat(v)_(j+1)/norm(hat(v)_(j+1))$
4. Repeat for $w_1, w_2, w_3, ...$
] ]