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src/Analysis1.typ

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-
-#show: stdTemplate
-
-#place(
-  top+left,
-  stdBlock([
-    == #hlHeading([Trig Identitäten])
-    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
-    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
-
-    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
-    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
-
-    #grid(
-      gutter: 5mm,
-      columns: (auto, auto),
-      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
-      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
-    )
-
-    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
-    
-    #grid(
-      gutter: 5mm,
-      columns: (auto, auto),
-      [$cos(-x) = cos(x)$],
-      [$sin(-x) = -sin(x)$],
-    )
-
-    Subsitution mit Hilfsvariable
-
-    #grid(
-      gutter: 5mm,
-      row-gutter: 3mm,
-      columns: (auto, auto),
-      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
-      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
-      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
-      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
-      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
-      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],
-    )
-    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$
-
-    Für $x in [-1, 1]$ \
-    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
-    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
-  ])
-)
-#place(
-  top + left,
-  dx: 6.5cm,
-  sinTable
-)
-
-#place(
-  top+left,
-  dx: 0cm,
-  dy: 8cm,
-  stdBlock([
-    #grid(
-      columns:(auto, auto), 
-      gutter: 1mm,
-      [
-        == #hlHeading([Folgen])
-        $ lim_(x->infinity) a_n $
-        - *Beschränkt*: $exists k in RR$ so dass $abs(a_n) <= k$
-          - $epsilon$-Interval: $x in (a - epsilon, a + epsilon) <=> abs(x - a) < epsilon$
-          - *Beweiß:* Induktion
-          - Hat min. eine konvergent Teilfolge
-
-        - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$
-          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $  oder Umformung
-
-        - *Konvergent*:
-          - Es gibt $forall epsilon > 0$ eine Index $n_epsilon in NN$ sodass \ $abs(a_n - a) < epsilon space forall n > n_epsilon$
-          - Divergent $-> infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n > k$
-          - Divergent $-> -infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n < k$
-          - Genzwert is eindeutig
-
-        - *Konvergenz $a_n -> a$ $<=>$ beschränkt UND monoton*
-          - $<=>$ Alle Teilefolgen konvergent zu $a$
-          - Wenn Häufungspunk $eq.not$ $=>$ divergent
-          - Sandwitch-Theorem
-
-        - *Cauchyfolge*
-          Ein folge die diese Eigenschaft hat: \
-          $forall epsilon > 0 space exists N_epsilon in NN space forall m,n > N_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
-          Cauchyfolge $<=>$ Konvergenz
-      ], 
-      grid.vline(stroke: 0.1mm + black, position: start),
-      pad([
-        === Grenzwert Finden:
-        - "Bottom up" von Bekannten Ausdrücken
-        - Fixpunk Gleösenichung l $a = f(a)$  für $f(a_n)$
-        - Bernoulli-Ungleichung für $(a_n)^n$ \
-          $(1 + a)^n >= 1 + n a$ für $a >= -1$
-        - #MathAlignLeft($1 + u <= 1/(1-u), u < 1$)
-          
-        Für Konvergent Folgen:
-        #grid(
-          columns: (auto, auto),
-          align: bottom,
-          gutter: 2mm,
-          [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
-          grid.cell(
-            rowspan:  2,
-            [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $],
-          ),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
-        )
-
-        == Spezifische Folgen
-        #grid(
-          columns: (auto, auto, auto),
-          column-gutter: 4mm,
-          row-gutter: 2mm,
-          align: bottom,
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
-          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
-          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
-          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
-          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
-        )
-
-        == Teilfolgen
-        - Indizies müssen immer streng monoton \
-          wachsend sein. (z.B. is $a_1, a_1, a_2, a_2$ KEIN\
-          Teilfolge von $a_n$)
-        - Beschränkte $a_n$ $=>$ *min eine* \
-          konvergent Teilfolge
-        - Konvergent $a_n$ $=>$ *genau ein* Häufungspunkt
-        
-
-      ], left: 1mm)
-    )
-  ])
-)
-
-#place(
-  top+left,
-  dx: 13cm,
-  dy: 0cm,
-  stdBlock([
-    == #hlHeading([Reihen])
-
-    Wenn $sum_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert $=>$ $a_n$ Nullfolge \
-    Wenn $a_n$ keine Nullfolge $=>$ $sum_(n=1)^infinity$ divergent
-
-    === Absolute Konvergenz
-    Bedeuted $sum_(n=1)^infinity abs(a_n) = a ==> sum_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
-    
-    $sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$ beschränkt + (monoto steigended) $= sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$
-
-    === Partialsummen
-    Sind die Partialsummen von $sum_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
-    $==>$ _Absolute Konvergent_
-
-    === Cauchy-Kriterium
-    konvergent wenn $forall epsilon$ existiert ein $n_epsilon in NN$ \
-    sodass $abs(s_n - s_m) = abs(sum_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
-    $forall n_epsilon < m < n $
-
-    === Leibnitzkriterium
-    Wenn monton fallend, $a_n >= 0$, Null folge dann
-
-    $sum_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent
-
-    === Majorandenkriterium
-    Seien $a_n, b_n$ mit $abs(a_n) <= b_n space (forall n > N, N in NN)$
-    1. $sum_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $==> sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
-      Suche $b_n$ für Konvergenz
-    2. $sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $==> sum_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
-      Suche $abs(a_n)$ für Divergenz
-
-    Nützlich:
-    - Dreiecksungleichung
-    - $forall space n in NN$ \
-      $exists space k,q in RR$ \
-      für $q > 1$: $n^k <= q^n$ ab einem bestimmten.
-
-    === Quotientenkriterium und Wurzelkriterium
-    1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
-    2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
-      (Stärker, am besten für $(...)^n$)
-
-    divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
-    === Spezifische Reihen
-      Geometrische Reihe: $sum_(n=0)^infinity q^n$
-      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
-      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
-      Harmonische Reihe: $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
-
-      1. $e^x = sum_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
-      2. $ln(x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
-  ])
-)
-
-#place(
-  top+left,
-  dx: 0cm,
-  dy: 20cm,
-  stdBlock([
-    == Kriterien Übersich für Reihen $sum_(n=0)^infinity a_n$
-    #line()
-
-    #grid(
-      columns: (auto, auto),
-      gutter: 3mm,
-      [
-        *Notwendinge Kriterien*\
-        ($not$ Bedingung $=>$ div.)
-        - Cauchy-Kriterium
-        - #MathAlignLeft($ lim_(n->infinity)a_n = 0 $)
-        - Konvergenz der Partialsummen
-        - Beschränktheit der Partialsummen
-      ],
-      [
-        *Hinreichende Kriterien* \
-        (Bedingung $=>$ konv.)
-        - Absolute Konvergenz
-        - Leibnitz-Kroterium
-        - Beschränktheit der Partialsummen
-        - Quotienten-/Wurzel-kriterium
-        - Majorandenkriterium
-      ]
-    )
-  ])
-)
-
-#pagebreak()
-#place(
-  left+top,
-  dx: 0cm,
-  dy: 0cm,
-  stdBlock([
-    == #hlHeading([Funktionen])
-    === Stetigkeit
-    Stetig an der stelle $x_0$ wenn: $ lim_(x->x_0+) f(x) = lim_(x->x_0-) f(x) =f(x_0) $
-    $f(x)$ muss nicht definiert sein an $x_0$
-    === Differenzierbar
-    An der stelle $x_0$ wenn
-    #MathAlignLeft($ 
-      lim_(h -> 0) (f(x_0 + h)-f(x_0))/h =\
-      lim_(h -> 0) (f(x_0 - h)-f(x_0))/h = f'(x)
-    $)
-    definiert ist
-
-  ])
-)