diff --git a/src/Analysis1.typ b/src/Analysis1.typ deleted file mode 100644 index 6c5067b..0000000 --- a/src/Analysis1.typ +++ /dev/null @@ -1,259 +0,0 @@ -#import "@preview/biceps:0.0.1": * -#import "@preview/cetz:0.4.2" - -#import "lib/styles.typ": * -#import "lib/common.typ": * - -#show: stdTemplate - -#place( - top+left, - stdBlock([ - == #hlHeading([Trig Identitäten]) - $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \ - $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \ - - $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \ - $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ - - #grid( - gutter: 5mm, - columns: (auto, auto), - [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$], - [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$] - ) - - $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ - - #grid( - gutter: 5mm, - columns: (auto, auto), - [$cos(-x) = cos(x)$], - [$sin(-x) = -sin(x)$], - ) - - Subsitution mit Hilfsvariable - - #grid( - gutter: 5mm, - row-gutter: 3mm, - columns: (auto, auto), - [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$], - [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$], - [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$], - [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$], - [$cos(x - pi/2) = sin(x)$], - [$sin(x + pi/2) = cos(x)$], - ) - $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$ - - Für $x in [-1, 1]$ \ - $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \ - $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$ - ]) -) -#place( - top + left, - dx: 6.5cm, - sinTable -) - -#place( - top+left, - dx: 0cm, - dy: 8cm, - stdBlock([ - #grid( - columns:(auto, auto), - gutter: 1mm, - [ - == #hlHeading([Folgen]) - $ lim_(x->infinity) a_n $ - - *Beschränkt*: $exists k in RR$ so dass $abs(a_n) <= k$ - - $epsilon$-Interval: $x in (a - epsilon, a + epsilon) <=> abs(x - a) < epsilon$ - - *Beweiß:* Induktion - - Hat min. eine konvergent Teilfolge - - - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ - - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $ oder Umformung - - - *Konvergent*: - - Es gibt $forall epsilon > 0$ eine Index $n_epsilon in NN$ sodass \ $abs(a_n - a) < epsilon space forall n > n_epsilon$ - - Divergent $-> infinity$, wenn $forall k in RR : exists space a_n > k$ - - Divergent $-> -infinity$, wenn $forall k in RR : exists space a_n < k$ - - Genzwert is eindeutig - - - *Konvergenz $a_n -> a$ $<=>$ beschränkt UND monoton* - - $<=>$ Alle Teilefolgen konvergent zu $a$ - - Wenn Häufungspunk $eq.not$ $=>$ divergent - - Sandwitch-Theorem - - - *Cauchyfolge* - Ein folge die diese Eigenschaft hat: \ - $forall epsilon > 0 space exists N_epsilon in NN space forall m,n > N_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ - Cauchyfolge $<=>$ Konvergenz - ], - grid.vline(stroke: 0.1mm + black, position: start), - pad([ - === Grenzwert Finden: - - "Bottom up" von Bekannten Ausdrücken - - Fixpunk Gleösenichung l $a = f(a)$ für $f(a_n)$ - - Bernoulli-Ungleichung für $(a_n)^n$ \ - $(1 + a)^n >= 1 + n a$ für $a >= -1$ - - #MathAlignLeft($1 + u <= 1/(1-u), u < 1$) - - Für Konvergent Folgen: - #grid( - columns: (auto, auto), - align: bottom, - gutter: 2mm, - [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $], - grid.cell( - rowspan: 2, - [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $], - ), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), - ) - - == Spezifische Folgen - #grid( - columns: (auto, auto, auto), - column-gutter: 4mm, - row-gutter: 2mm, - align: bottom, - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), - MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $), - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [], - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [], - grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) = e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)) - ) - - == Teilfolgen - - Indizies müssen immer streng monoton \ - wachsend sein. (z.B. is $a_1, a_1, a_2, a_2$ KEIN\ - Teilfolge von $a_n$) - - Beschränkte $a_n$ $=>$ *min eine* \ - konvergent Teilfolge - - Konvergent $a_n$ $=>$ *genau ein* Häufungspunkt - - - ], left: 1mm) - ) - ]) -) - -#place( - top+left, - dx: 13cm, - dy: 0cm, - stdBlock([ - == #hlHeading([Reihen]) - - Wenn $sum_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert $=>$ $a_n$ Nullfolge \ - Wenn $a_n$ keine Nullfolge $=>$ $sum_(n=1)^infinity$ divergent - - === Absolute Konvergenz - Bedeuted $sum_(n=1)^infinity abs(a_n) = a ==> sum_(n=1)^infinity a_n$ konvergent - - $sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$ beschränkt + (monoto steigended) $= sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$ - - === Partialsummen - Sind die Partialsummen von $sum_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\ - $==>$ _Absolute Konvergent_ - - === Cauchy-Kriterium - konvergent wenn $forall epsilon$ existiert ein $n_epsilon in NN$ \ - sodass $abs(s_n - s_m) = abs(sum_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \ - $forall n_epsilon < m < n $ - - === Leibnitzkriterium - Wenn monton fallend, $a_n >= 0$, Null folge dann - - $sum_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent - - === Majorandenkriterium - Seien $a_n, b_n$ mit $abs(a_n) <= b_n space (forall n > N, N in NN)$ - 1. $sum_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $==> sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \ - Suche $b_n$ für Konvergenz - 2. $sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $==> sum_(n=0)^infinity b_n$ divergent \ - Suche $abs(a_n)$ für Divergenz - - Nützlich: - - Dreiecksungleichung - - $forall space n in NN$ \ - $exists space k,q in RR$ \ - für $q > 1$: $n^k <= q^n$ ab einem bestimmten. - - === Quotientenkriterium und Wurzelkriterium - 1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $ - 2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \ - (Stärker, am besten für $(...)^n$) - - divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$ - === Spezifische Reihen - Geometrische Reihe: $sum_(n=0)^infinity q^n$ - - konvergent $abs(q) < 1$, divergent $abs(q) >= 1$ - - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$ - Harmonische Reihe: $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$ - - 1. $e^x = sum_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$ - 2. $ln(x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$ - ]) -) - -#place( - top+left, - dx: 0cm, - dy: 20cm, - stdBlock([ - == Kriterien Übersich für Reihen $sum_(n=0)^infinity a_n$ - #line() - - #grid( - columns: (auto, auto), - gutter: 3mm, - [ - *Notwendinge Kriterien*\ - ($not$ Bedingung $=>$ div.) - - Cauchy-Kriterium - - #MathAlignLeft($ lim_(n->infinity)a_n = 0 $) - - Konvergenz der Partialsummen - - Beschränktheit der Partialsummen - ], - [ - *Hinreichende Kriterien* \ - (Bedingung $=>$ konv.) - - Absolute Konvergenz - - Leibnitz-Kroterium - - Beschränktheit der Partialsummen - - Quotienten-/Wurzel-kriterium - - Majorandenkriterium - ] - ) - ]) -) - -#pagebreak() -#place( - left+top, - dx: 0cm, - dy: 0cm, - stdBlock([ - == #hlHeading([Funktionen]) - === Stetigkeit - Stetig an der stelle $x_0$ wenn: $ lim_(x->x_0+) f(x) = lim_(x->x_0-) f(x) =f(x_0) $ - $f(x)$ muss nicht definiert sein an $x_0$ - === Differenzierbar - An der stelle $x_0$ wenn - #MathAlignLeft($ - lim_(h -> 0) (f(x_0 + h)-f(x_0))/h =\ - lim_(h -> 0) (f(x_0 - h)-f(x_0))/h = f'(x) - $) - definiert ist - - ]) -) \ No newline at end of file diff --git a/src/Schaltungstheorie.typ b/src/Schaltungstheorie/Schaltungstheorie.typ similarity index 100% rename from src/Schaltungstheorie.typ rename to src/Schaltungstheorie/Schaltungstheorie.typ diff --git a/src/Analysis_rewrite.typ b/src/analysis1/Analysis1.typ similarity index 100% rename from src/Analysis_rewrite.typ rename to src/analysis1/Analysis1.typ diff --git a/src/LinearAlgebra.typ b/src/linAlg/LinearAlgebra.typ similarity index 100% rename from src/LinearAlgebra.typ rename to src/linAlg/LinearAlgebra.typ