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src/linAlg/LinearAlgebra.typ

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+  [Linear Algebra EI]
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+
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+  align(left, block(e))
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+    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation]
+        
+
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorGruppen)[
+         #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
+
+        *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
+        - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
+        *Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
+        - Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
+        *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
+        - Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$
+
+        #SeperatorLine
+
+        *Gruppe:* Monoid mit
+        - Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$
+        - Eindeutig Lösung für Gleichungen 
+        Zusatz:
+        - Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
+        *Untergruppe:*
+        - Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
+        - $a,b in U <=> a dot b in U$
+        - $a in U <=> a^(-1) in U$
+        - $e in U$ (Neutrales Element)
+
+        *Direktes Produkt:*\
+        $(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \
+        $(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$
+
+
+        #SeperatorLine
+
+        *Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit:
+        - $(R, +)$ kommutativ Gruppe
+        - $(R, dot)$ Halbgruppe
+        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
+
+        #colbreak()
+
+        *Körper:* Menge $K$ mit:
+        - $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
+            ($0$ ist Neutrales Element von $+$)
+        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
+        _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorReihen)[
+        #subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)]
+        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
+        - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
+        - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
+        Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$ 
+        - $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
+        - $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
+            $(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
+        - $1v = v$, $arrow(0) in V$
+        Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
+
+        *Untervektorraum:* $U subset V$ \
+        $v,w in U, lambda in K$ \
+        $ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
+        - $(U inter W) subset V$
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorReihen)[
+        #subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim]
+        *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ 
+        - $Phi(0) = 0$
+        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
+        - Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$
+
+        *Basis:*\
+        linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
+        - $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
+        - Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$
+
+        *Linear unabhänige:*
+        Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$
+
+        *Basisergänzungssatz:* \
+        Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
+
+        *Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
+        - $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
+        
+        $f(x)=y, f: A -> B$
+
+        *Injectiv (Monomorphismus):*\
+        _one to one_ \
+        $f(x) = f(y) <=> x = y$
+
+        *Surjectiv (Epimorhismis):* \
+        _Output space coverered_ \
+        - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
+        - $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$
+        NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$
+
+        *Bijektiv (Isomorphismus):* \
+        _Injectiv und Surjectiv_ \
+        - In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
+        - isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$
+
+        Beweiß durch Wiederspruch \
+        für Gegenbeweiß
+
+        *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$ 
+
+        *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
+        
+        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
+        *Spann:* 
+        - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
+        - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
+        - $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
+
+        *Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$
+
+        *Bild:* Wertemenge $WW$ 
+        - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
+        - Basis $B : op("spann")(B)$
+        - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
+
+        *Nullraum/Kern:* \
+        $op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$
+
+        *Rang*
+        $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
+    ]
+
+]
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