Finally added potenzreihen

src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -3,6 +3,7 @@
 
 #show math.integral: it => math.limits(math.integral)
 #show math.sum: it => math.limits(math.sum)
+#let lim = $limits("lim")$
 
 #set text(7pt)
 
@@ -46,27 +47,48 @@
   #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
     #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins]
 
-    *Dreiecksungleichung* \
+    #grid(
-      $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
+      columns: (1fr, 1fr),
-      $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$ \
+      inset: 0mm,
-    *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\
+      gutter: 2mm,
-      $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \
+      [
-    *Geometrische Summenformel*\
+        *Dreiecksungleichung* \
-      $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \
+        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
-    *Bernoulli-Ungleichung* \
+        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$ \
-    $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \
+      ],
-    *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
+      [
-
+        *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\
-    *Binomische Formel*\
+        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \
-$(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
+      ],
-    *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \
+      [
-    *Gaußklammer*: \
+        *Geometrische Summenformel*\
-        $floor(x) = text("floor")(x)$ \
+        $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \
-        $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \
+      ],
-    *Bekannte Werte* \
+      [
-      $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
+        *Bernoulli-Ungleichung* \
-      $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
+        $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \
-  
+      ],
+      [
+        *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
+      ],
+      [
+        *Binomische Formel*\
+        $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
+      ],
+      [
+        *Bekannte Werte* \
+          $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
+          $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
+      ],
+      [
+        *Gaußklammer*: \
+          $floor(x) = text("floor")(x)$ \
+          $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \
+      ],
+      [
+        *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \
+      ],
+    )
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
@@ -81,12 +103,12 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $],
       [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $],
       grid.cell(
-        colspan: 2,
+        colspan: 1,
         align: center,
         $ tan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
       ),
       grid.cell(
-        colspan: 2,
+        colspan: 1,
         align: center,
         $ arctan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
       )
@@ -96,7 +118,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     *Additionstheorem* \
     $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
     $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
-    $tan(x) + tan(y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
+    $tan(x +y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
     $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \
     $arctan(1/x) + arctan(x) = cases(
       x > 0 : pi/2,
@@ -108,19 +130,13 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
 
     #grid(
-      gutter: 5mm,
+      gutter: 2mm,
-      columns: (auto, auto),
+      columns: (auto, auto, auto),
-      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
+      $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$,
-      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
+      $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$,
-    )
+      $cos(-x) = cos(x)$,
-
+      $sin(-x) = -sin(x)$,
-    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
+      grid.cell(colspan: 2, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$)
-    git config pull.rebase falsegit config pull.rebase false
-    #grid(
-      gutter: 5mm,
-      columns: (auto, auto),
-      [$cos(-x) = cos(x)$],
-      [$sin(-x) = -sin(x)$],
     )
 
     Subsitution mit Hilfsvariable
@@ -135,6 +151,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
       [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
       [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],    
+    
     )
     $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$
 
@@ -143,9 +160,9 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
   ]
 
+  // Folgen Allgemein
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen]
-    $ lim_(x -> infinity) a_n $
 
     *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
     - Beweiße: durch Induktion
@@ -155,17 +172,14 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     *Monoton fallend/steigended*
     - Beweise: Induktion
     #grid(columns: (1fr, 1fr),
-      gutter: 1mm,
+      inset: 0.2mm,
-      row-gutter: 2mm,
       align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
-      [$ a_(n+1) <= a_(n) $],
+      [$ a_(n+1) <= a_(n), quad a_(n+1) >= a_(n) $],
-      [$ a_(n+1) >= a_(n) $],
+      [$ a_(n+1)/a_(n) < 1, quad a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
-      [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
-      [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
     )
 
     *Konvergentz Allgemein*
-    $ lim_(n -> infinity) a_n = a $
+    $lim_(n -> infinity) a_n = a$
 
     $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
     - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
@@ -177,31 +191,38 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     *Konvergentz Häufungspunkte*
     - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$
 
-    *Konvergenz Beweißen*
+    *Folgen in $CC$* (Alle Regeln von $RR$ gelten)\
-    - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
+    - $z_n in CC : lim z_n <=> lim abs(z_n) = 0$
-      NICHT Umgekehert
+    - Zerlegen in $a + b i$ oder $abs(z) dot e^(i phi)$
-    - (Cauchyfolge \
-      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
-      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
-      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
-    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
   ]
 
+  // Folgen Strat
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen Konvergenz Strategien]
     - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
+    - *Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz*
     - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
       für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
     - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
       $(1 + a)^n >= 1 + n a$
     - Sandwitchtheorem:\
       $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
-      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
-      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
     - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
       (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
+    - (Cauchyfolge \
+      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
+      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
+      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
+
+
+    *Divergenz*
+    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
+    - Vergleichskriterium: \
+      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
+      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
   ]
 
+  // L'Hospital
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital]
     $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$
@@ -211,7 +232,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     Bendingungen:
     1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$
     2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$
-    3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert
+    3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ konveriert
 
     $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$
 
@@ -220,8 +241,9 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$
   ]
 
+  // Bekannte Folgen
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
-    #subHeading(fill: colorFolgen)[Konvergent Folge Regeln]
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
     #grid(
       columns: (auto, auto),
       align: bottom,
@@ -236,10 +258,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
       MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
     )
-  ]
     
-  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
-    #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
     #grid(
       columns: (auto, auto),
       column-gutter: 4mm,
@@ -258,6 +277,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     )
   ]
 
+  // Teilfolgen
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen]
     $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
@@ -267,6 +287,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
   ]
 
+  // Reihen
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
     #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen]
     $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \
@@ -304,12 +325,34 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
       
       divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
+
+    *Reihen in $CC$*
+    - Alles 
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
     #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen]
+    $P(z) = sum_(n=0)^infinity a_n dot (z- z_0)^n quad z,z_0 in CC$
+
+    #grid(
+      columns: (auto, auto),
+      column-gutter: 5mm,
+      row-gutter: 1.5mm,
+    
+      [*Konvergenzradius*], [$|z - z_0| < R : $ absolute Konvergenz],
+      [], [$|z - z_0| = R : $ Keine Aussage],
+      [], [$|z - z_0| > R : $ Divergent]
+    )
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr),
+      $R = lim_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(lim_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$,
+      $R = limits(liminf)_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(limits(limsup)_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$
+    )
+
   ]
 
+  // Bekannte Reihen
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
     #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen]
     *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$
@@ -318,18 +361,21 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
 
     *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
 
+    *Binomische Reihe:* 
+    
     *Reihendarstellungen*
     #grid(
       columns: (1fr, 1fr),
       gutter: 3mm,
-      row-gutter: 2mm,
+      row-gutter: 3mm,
       $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$,
       $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$,
-      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $,
+      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!)$,
-      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n))/((2n)!)$
     )
   ]
 
+  // Ableitung
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]
 
@@ -346,7 +392,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar
   ]
 
-  #colbreak()
+  // Funktions Sätze
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze]
     $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig
@@ -367,7 +413,8 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$
 
     - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\
-
+      $g -> RR "integrierbar," g(x)>= 0 forall x in [a,b]$\
+      $exists xi in [a,b] : integral_a^b  f(x)g(x) d x = f(xi) integral_a^b g(x) d x$
 
     - *Satze von Rolle* \
       diffbar $x in (a,b)$\
@@ -378,6 +425,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
 
   ]
 
+  // Stetigkeit
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit]
     *Allgemein*
@@ -419,6 +467,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     )
   ]
 
+  // Ableitung
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung]
     *Differenzierbarkeit*
@@ -453,6 +502,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$
   ],
 
+  // Ableitungstabelle
   #block([
     #set text(size: 10pt)
     #table(
@@ -492,7 +542,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$],
     )
   ])
-  #colbreak()
+
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie]
 
@@ -560,7 +610,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     Notwendig $f''(x) lt.gt 0$
   ]
 
-
   #bgBlock(fill: colorIntegral, [
     #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
 
@@ -614,7 +663,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       $limits(lim)_(epsilon -> plus.minus infinity) integral_a^(epsilon) f(x) d x$
     - Unbestimmtes Int.: $integral f(x) d x = F(x) + c, c in RR$- Uneigentliches Int.: 
     
-    
     *Cauchy-Hauptwert*
 
     $integral_(-infinity)^(+infinity) f(x)$ \
@@ -662,53 +710,3 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     )
   ])
 ]
-
-
-#pagebreak()
-
-== Folgen in $CC$
-
-$z_n in C: lim z_n  <=> lim abs(z_n -> infinity) = 0$
-
-Alle folgen regelen gelten
-
-Complexe Folge kann man in Realteil und Imag zerlegen
-
-z.B.
-
-$z_n = z^n z in CC$
-
-$z = abs(z) dot e^(i phi) = abs(z)^n$
-
-== Reihen in $CC$
-
-Fast alles gilt auch.
-
-Bis auf Leibnitzkriterium weil es keine Monotonie gibt
-
-Geometrische Reihe gilt.
-
-Exponential funktion
-
-#MathAlignLeft($ e^z = lim_(n -> infinity) (1 + z/n)^n = sum_(n=0)^infinity (z^n)/(n!) space z in CC $)
-
-Vorsicht: $(b^a)^n = b^(a dot c)$
-
-Potenzreihen: Eine Fn der form:
-
-#MathAlignLeft($ P(z) = sum^(infinity)_(n=0) a_n dot (z - z_0)^n space z, z_0 in CC $)
-
-=== Satz
-
-Konvergenz Radius $R = [0, infinity)$$$
-
-1. $R = 0$ Konvergiet nur bei $z = 0$
-
-2. $R in R : cases(
-  z in CC &abs(z - z_0) < R &: "abs Konvergent",
-  z in CC &abs(z - z_0) = R &: "keine Ahnung",
-  z in CC &abs(z - z_0) > R &: "Divergent"
-)$
-
-$ R = limsup_(n -> infinity) $
-