diff --git a/src/cheatsheets/Analysis1.typ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ index f310df7..987937c 100644 --- a/src/cheatsheets/Analysis1.typ +++ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ @@ -3,6 +3,7 @@ #show math.integral: it => math.limits(math.integral) #show math.sum: it => math.limits(math.sum) +#let lim = $limits("lim")$ #set text(7pt) @@ -46,27 +47,48 @@ #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins] - *Dreiecksungleichung* \ - $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ - $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ \ - *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\ - $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \ - *Geometrische Summenformel*\ - $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \ - *Bernoulli-Ungleichung* \ - $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \ - *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ - - *Binomische Formel*\ -$(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ - *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \ - *Gaußklammer*: \ - $floor(x) = text("floor")(x)$ \ - $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \ - *Bekannte Werte* \ - $e approx 2.71828$ ($2 < e < 3$) \ - $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$) - + #grid( + columns: (1fr, 1fr), + inset: 0mm, + gutter: 2mm, + [ + *Dreiecksungleichung* \ + $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ + $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ \ + ], + [ + *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\ + $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \ + ], + [ + *Geometrische Summenformel*\ + $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \ + ], + [ + *Bernoulli-Ungleichung* \ + $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \ + ], + [ + *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ + ], + [ + *Binomische Formel*\ + $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ + ], + [ + *Bekannte Werte* \ + $e approx 2.71828$ ($2 < e < 3$) \ + $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$) + ], + [ + *Gaußklammer*: \ + $floor(x) = text("floor")(x)$ \ + $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \ + ], + [ + *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \ + ], + ) ] #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ @@ -81,12 +103,12 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $], [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $], grid.cell( - colspan: 2, + colspan: 1, align: center, $ tan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $ ), grid.cell( - colspan: 2, + colspan: 1, align: center, $ arctan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $ ) @@ -96,7 +118,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ *Additionstheorem* \ $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \ $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \ - $tan(x) + tan(y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \ + $tan(x +y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \ $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \ $arctan(1/x) + arctan(x) = cases( x > 0 : pi/2, @@ -108,19 +130,13 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ #grid( - gutter: 5mm, - columns: (auto, auto), - [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$], - [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$] - ) - - $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$ - git config pull.rebase falsegit config pull.rebase false - #grid( - gutter: 5mm, - columns: (auto, auto), - [$cos(-x) = cos(x)$], - [$sin(-x) = -sin(x)$], + gutter: 2mm, + columns: (auto, auto, auto), + $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$, + $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$, + $cos(-x) = cos(x)$, + $sin(-x) = -sin(x)$, + grid.cell(colspan: 2, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$) ) Subsitution mit Hilfsvariable @@ -134,7 +150,8 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$], [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$], [$cos(x - pi/2) = sin(x)$], - [$sin(x + pi/2) = cos(x)$], + [$sin(x + pi/2) = cos(x)$], + ) $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$ @@ -143,9 +160,9 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$ ] + // Folgen Allgemein #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen] - $ lim_(x -> infinity) a_n $ *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$ - Beweiße: durch Induktion @@ -155,17 +172,14 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ *Monoton fallend/steigended* - Beweise: Induktion #grid(columns: (1fr, 1fr), - gutter: 1mm, - row-gutter: 2mm, + inset: 0.2mm, align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]), - [$ a_(n+1) <= a_(n) $], - [$ a_(n+1) >= a_(n) $], - [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $], - [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $], + [$ a_(n+1) <= a_(n), quad a_(n+1) >= a_(n) $], + [$ a_(n+1)/a_(n) < 1, quad a_(n+1)/a_(n) > 1 $], ) *Konvergentz Allgemein* - $ lim_(n -> infinity) a_n = a $ + $lim_(n -> infinity) a_n = a$ $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \ - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $ @@ -177,31 +191,38 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ *Konvergentz Häufungspunkte* - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$ - *Konvergenz Beweißen* - - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz - NICHT Umgekehert - - (Cauchyfolge \ - $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ - $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ - Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) - - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz + *Folgen in $CC$* (Alle Regeln von $RR$ gelten)\ + - $z_n in CC : lim z_n <=> lim abs(z_n) = 0$ + - Zerlegen in $a + b i$ oder $abs(z) dot e^(i phi)$ ] + // Folgen Strat #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen Konvergenz Strategien] - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen + - *Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz* - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \ für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!) - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \ $(1 + a)^n >= 1 + n a$ - Sandwitchtheorem:\ $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \ - $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ - $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) + - (Cauchyfolge \ + $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ + $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ + Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) + + + *Divergenz* + - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz + - Vergleichskriterium: \ + $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ + $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ ] + // L'Hospital #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital] $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$ @@ -211,7 +232,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ Bendingungen: 1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$ 2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$ - 3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert + 3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ konveriert $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$ @@ -220,8 +241,9 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$ ] + // Bekannte Folgen #bgBlock(fill: colorFolgen)[ - #subHeading(fill: colorFolgen)[Konvergent Folge Regeln] + #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen] #grid( columns: (auto, auto), align: bottom, @@ -236,10 +258,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), ) - ] - - #bgBlock(fill: colorFolgen)[ - #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen] + #grid( columns: (auto, auto), column-gutter: 4mm, @@ -258,6 +277,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ) ] + // Teilfolgen #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen] $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $ @@ -267,6 +287,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent ] + // Reihen #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen] $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \ @@ -304,12 +325,34 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ 2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \ divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$ + + *Reihen in $CC$* + - Alles ] #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen] + $P(z) = sum_(n=0)^infinity a_n dot (z- z_0)^n quad z,z_0 in CC$ + + #grid( + columns: (auto, auto), + column-gutter: 5mm, + row-gutter: 1.5mm, + + [*Konvergenzradius*], [$|z - z_0| < R : $ absolute Konvergenz], + [], [$|z - z_0| = R : $ Keine Aussage], + [], [$|z - z_0| > R : $ Divergent] + ) + + #grid( + columns: (1fr, 1fr), + $R = lim_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(lim_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$, + $R = limits(liminf)_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(limits(limsup)_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$ + ) + ] + // Bekannte Reihen #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen] *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$ @@ -317,19 +360,22 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$ *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$ + + *Binomische Reihe:* *Reihendarstellungen* #grid( columns: (1fr, 1fr), gutter: 3mm, - row-gutter: 2mm, + row-gutter: 3mm, $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$, $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$, - $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $, - $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $ + $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!)$, + $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n))/((2n)!)$ ) ] + // Ableitung #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen] @@ -346,7 +392,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar ] - #colbreak() + // Funktions Sätze #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze] $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig @@ -367,7 +413,8 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$ - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\ - + $g -> RR "integrierbar," g(x)>= 0 forall x in [a,b]$\ + $exists xi in [a,b] : integral_a^b f(x)g(x) d x = f(xi) integral_a^b g(x) d x$ - *Satze von Rolle* \ diffbar $x in (a,b)$\ @@ -378,6 +425,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ] + // Stetigkeit #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit] *Allgemein* @@ -419,6 +467,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ) ] + // Ableitung #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung] *Differenzierbarkeit* @@ -453,6 +502,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$ ], + // Ableitungstabelle #block([ #set text(size: 10pt) #table( @@ -492,7 +542,7 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$], ) ]) - #colbreak() + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie] @@ -560,7 +610,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ Notwendig $f''(x) lt.gt 0$ ] - #bgBlock(fill: colorIntegral, [ #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral]) @@ -614,7 +663,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $limits(lim)_(epsilon -> plus.minus infinity) integral_a^(epsilon) f(x) d x$ - Unbestimmtes Int.: $integral f(x) d x = F(x) + c, c in RR$- Uneigentliches Int.: - *Cauchy-Hauptwert* $integral_(-infinity)^(+infinity) f(x)$ \ @@ -662,53 +710,3 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ) ]) ] - - -#pagebreak() - -== Folgen in $CC$ - -$z_n in C: lim z_n <=> lim abs(z_n -> infinity) = 0$ - -Alle folgen regelen gelten - -Complexe Folge kann man in Realteil und Imag zerlegen - -z.B. - -$z_n = z^n z in CC$ - -$z = abs(z) dot e^(i phi) = abs(z)^n$ - -== Reihen in $CC$ - -Fast alles gilt auch. - -Bis auf Leibnitzkriterium weil es keine Monotonie gibt - -Geometrische Reihe gilt. - -Exponential funktion - -#MathAlignLeft($ e^z = lim_(n -> infinity) (1 + z/n)^n = sum_(n=0)^infinity (z^n)/(n!) space z in CC $) - -Vorsicht: $(b^a)^n = b^(a dot c)$ - -Potenzreihen: Eine Fn der form: - -#MathAlignLeft($ P(z) = sum^(infinity)_(n=0) a_n dot (z - z_0)^n space z, z_0 in CC $) - -=== Satz - -Konvergenz Radius $R = [0, infinity)$$$ - -1. $R = 0$ Konvergiet nur bei $z = 0$ - -2. $R in R : cases( - z in CC &abs(z - z_0) < R &: "abs Konvergent", - z in CC &abs(z - z_0) = R &: "keine Ahnung", - z in CC &abs(z - z_0) > R &: "Divergent" -)$ - -$ R = limsup_(n -> infinity) $ -