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src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -38,7 +38,7 @@
 }
 #columns(5, gutter: 2mm)[
 
-
+    // Gruppen
     #bgBlock(fill: colorGruppen)[
          #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
 
@@ -92,11 +92,14 @@
         $(S_n, compose)$ ist Gruppe, aber nicht kommutativ
     ]
 
+    /*
+    // Komplex Zahlen
     #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
         #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
         
         #ComplexNumbersSection()
     ]
+    */
 
     // Matrix Typen
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
@@ -129,6 +132,8 @@
         )
     ]
 
+    #colbreak()
+
     // Vektorräume
     #bgBlock(fill: colorVR)[
         #subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
@@ -264,40 +269,6 @@
         Normalweiße alle Abbildung/Matrizen in Kannoischer Basis $hat(e)_1 = vec(1, 0, dots.v), hat(e)_2 = vec(0, 1, dots.v), ...$
     ]
 
-    // Matrix Basics
-    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Basics]
-        Linera Abbildung $equiv$ EINER eindeutige Matrix  \
-
-        - Sclar/Matrix: $lambda dot A$
-        - Matrix/Matrix: $A + B$
-        - Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
-        $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
-
-        $(KK^(n times n), +)$ sind Gruppe, $(KK^(n times n), dot)$ sind Monoid, 
-
-        #image("../images/linAlg/matMul.jpg")
-
-        #SeperatorLine
-
-        #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
-            row-gutter: 2mm,
-            align(center, $(lambda mu) A = lambda (mu A)$), 
-            grid.cell(colspan: 2, align(center, $(lambda + mu) A = lambda A + mu A$)),
-            align(center, $$), 
-            grid.cell(colspan: 2, align(center, $lambda (A + B) = lambda A + lambda B$)),
-        )
-
-        *Transponieren*
-
-        #grid(columns: (1fr, 1fr),
-            row-gutter: 2mm,
-            $(A + B)^T = A^T + B^T$,
-            $(lambda A)^T = lambda A^T$,
-            $(A^T)^T = A$,
-            $(A dot B)^T = B^T dot A^T$
-        )
-    ]  
 
 
     #colbreak()
@@ -444,9 +415,44 @@
         $KK^(2 times 2): A = mat(a, b; c, d) \ A^(-1) = 1/det(A) mat(d, -b; -c, a) = 1/(a d - b c) mat(d, -b; -c, a) $
     ]
     
+        // Matrix Basics
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Basics]
+        Linera Abbildung $equiv$ EINER eindeutige Matrix  \
 
-    #colbreak()
+        - Sclar/Matrix: $lambda dot A$
+        - Matrix/Matrix: $A + B$
+        - Matrix-Matrix: $A dot B = Phi_A compose Phi_B = Phi_A (Phi_B (ve(x)))$ \
+        $c_(j i) = sum^n_(s=1) a_(j s) b_(s i)$
 
+        $(KK^(n times n), +)$ sind Gruppe, $(KK^(n times n), dot)$ sind Monoid, 
+
+        #image("../images/linAlg/matMul.jpg")
+
+        #SeperatorLine
+
+        #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+            row-gutter: 2mm,
+            align(center, $(lambda mu) A = lambda (mu A)$), 
+            grid.cell(colspan: 2, align(center, $(lambda + mu) A = lambda A + mu A$)),
+            align(center, $$), 
+            grid.cell(colspan: 2, align(center, $lambda (A + B) = lambda A + lambda B$)),
+        )
+
+        *Transponieren*
+
+        #grid(columns: (1fr, 1fr),
+            row-gutter: 2mm,
+            $(A + B)^T = A^T + B^T$,
+            $(lambda A)^T = lambda A^T$,
+            $(A^T)^T = A$,
+            $(A dot B)^T = B^T dot A^T$
+        )
+    ]  
+
+]
+
+#columns(5, gutter: 2mm)[
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
         #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Linearform]
 
@@ -523,7 +529,7 @@
         *Regel von Saurus*
         #grid(
             columns: (auto, 1fr),
-            image("../images/linAlg/saurus.png", height: 1cm),
+            image("../images/linAlg/saurus.png", height: 0.6cm),
             align(center+horizon, $= a_11 a_22 a_33 + a_12 a_23 a_31 + a_13 a_21 a_32 \ 
             - a_13 a_22 a_31 - a_12 a_21 a_33 - a_11 a_23 a_32
             $)
@@ -534,7 +540,7 @@
         #grid(
             columns: (auto, 1fr),
             column-gutter: 2mm,
-            image("../images/linAlg/laplace.jpg", height: 2cm),
+            image("../images/linAlg/laplace.jpg", height: 1.6cm),
             [
                 - Nach Spalte oder Zeile Entwicklung
                 - #underline([Auf Vorzeichen Achten!!!])
@@ -587,10 +593,17 @@
 
         #SeperatorLine
 
-        *Norm*
+        #grid(
+            columns: (auto, auto),
+            column-gutter: 3mm,
+            [*Norm*],
+            [
             - $norm(ve(v)) = 0 <=> ve(v) = ve(0)$
             - $norm(lambda ve(v)) = abs(lambda) norm(ve(v))$
             - Dreieckesungleichung: $norm(x + y) <= norm(x) + norm(y)$
+            ]
+        )
+
 
         *Generisch/$L_p$-Norm*: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$
 
@@ -620,8 +633,29 @@
 
     ]
 
+    // Matrix Normen
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen]
+
+        $|| dot ||_M$ Matrix Norm, $|| dot ||_V$ Vektornorm
+
+        - submultiplikativ: $||A B||_"M" <= ||A||||B||$
+        - verträglich mit einer Vektornorm: $||A v||_"V" <= ||A||_"M" ||v||_"V"$
+
+        *Frobenius-Norm* $||A||_"M" = sqrt(sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n a_(m n)^2)$
+
+        *Induzierte Norm* \ 
+        $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V) = sup_(||v|| = 1) ||A v||_V$
+            - submultiplikativ
+            - verträglich mit einer Vektornorm $||dot||_V$
+
+        *maximale Spaltensumme* $||A||_r = max_(1<= i <= n) sum_(j=1)^n |a_(j)|$
+    ]
+
+
     #colbreak()
     
+    // Eigenwert und Eigenvektoren
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
 
         #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ]
@@ -664,8 +698,9 @@
 
     ]
 
+    // Gram-Schmit ONB
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
-        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB]
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit]
 
         Idee: $ip("Orth"#text(red)[normal] ve(v), ve(x)) = "Anteil von" ve(x) "an" ve(v)$ \
         Ziel: Basis $W -->$ Orthogonal Basis $V$
@@ -679,6 +714,7 @@
 
     ]
 
+    // Diagonalisierung
     #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
         #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Diagonalisierung]
         $A = R D R^(-1)$
@@ -756,23 +792,6 @@
             $S = mat(sigma_0, 0; 0, sigma_1; dots.v, dots.v; 0, 0) quad quad quad S = mat(sigma_0, 0, dots, 0; 0, sigma_1, ..., 0)$
     ]
     
-    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen]
-
-        $|| dot ||_M$ Matrix Norm, $|| dot ||_V$ Vektornorm
-
-        - submultiplikativ: $||A B||_"M" <= ||A||||B||$
-        - verträglich mit einer Vektornorm: $||A v||_"V" <= ||A||_"M" ||v||_"V"$
-
-        *Frobenius-Norm* $||A||_"M" = sqrt(sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n a_(m n)^2)$
-
-        *Induzierte Norm* \ 
-        $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V) = sup_(||v|| = 1) ||A v||_V$
-            - submultiplikativ
-            - verträglich mit einer Vektornorm $||dot||_V$
-
-        *maximale Spaltensumme* $||A||_r = max_(1<= i <= n) sum_(j=1)^n |a_(j)|$
-    ]
 
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
         #subHeading(fill: colorMatrix)[Rekursive Folgen]
@@ -799,11 +818,7 @@
 
     #colbreak()
 
-
+    // Table
-    #sinTable
-]
-
-#columns(2)[
     #table(
         columns: (auto, 1fr),
         inset: 2mm,