Added alot of linAlg

2026-02-01 23:56:11 +01:00
parent d7703597bb
commit 72e31ef355
4 changed files with 247 additions and 107 deletions
--- a/src/cheatsheets/Analysis1.typ
+++ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ
@@ -106,9 +106,8 @@
  // Complex Zahlen
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Complexe Zahlen]
-    $z = r dot e^(phi i) = r (cos(phi) + i sin(phi))$

-    $z^n = r^n dot e^(phi i dot n) = r^n (cos(n phi) + i sin(n phi))$
+    #ComplexNumbersSection()

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
--- a/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
+++ b/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
@@ -1,5 +1,8 @@
 #import "@preview/biceps:0.0.1" : *
 #import "@preview/mannot:0.3.1"
+#import "@preview/fletcher:0.5.8"
+#import "@preview/cetz:0.4.2"
+
 #import "../lib/styles.typ" : *
 #import "../lib/common_rewrite.typ" : *

@@ -23,11 +26,22 @@
 ))

 #let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorMatrixVerfahren = color.hsl(330.19deg, 100%, 68.43%)
 #let colorMatrix = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
-#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorVR = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)

+// Math macors
+#let kern(x) = $op("kern")(#x)$
+#let alg(x) = $op("alg")(#x)$
+#let geo(x) = $op("geo")(#x)$
+#let spann(x) = $op("spann")(#x)$
+#let Bild(x) = $op("Bild")(#x)$
+#let Rang(x) = $op("Rang")(#x)$
+#let Eig(x) = $op("Eig")(#x)$
+
+#let ip(x, y) = $lr(angle.l #x, #y angle.r)$

 #let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
 #let MathAlignLeft(e) = {
@@ -35,11 +49,19 @@
 }
 #columns(4, gutter: 2mm)[
    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
-        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation]
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Algemein]
        

    ]

+    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
+        
+        #ComplexNumbersSection()
+        
+        #sinTable
+    ]
+
    #bgBlock(fill: colorGruppen)[
         #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]

@@ -75,8 +97,6 @@
        - $(R, dot)$ Halbgruppe
        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)

-        #colbreak()
-
        *Körper:* Menge $K$ mit:
        - $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
            ($0$ ist Neutrales Element von $+$)
@@ -84,8 +104,8 @@
        _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
    ]

-    #bgBlock(fill: colorReihen)[
-        #subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)]
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
        - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
        - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
@@ -102,8 +122,8 @@
        - $(U inter W) subset V$
    ]

-    #bgBlock(fill: colorReihen)[
-        #subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim]
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Basis und Dim]
        *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ 
        - $Phi(0) = 0$
        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
@@ -154,6 +174,7 @@
        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
    ]

+    // Spann und Bild, Kern
    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
        *Spann:* 
@@ -173,131 +194,242 @@

        *Rang*
        $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
+
+        *Dimensionssatz:* Sei $A$ lineare Abbildung \
+        $dim(V) = dim(kern(A)) + dim(Bild(A))$ \
+        $dim(V) = dim(kern(A)) + Rang(A)$ \
+
+        $dim(V) = dim(Bild(A)) "oder" dim(kern(A)) = 0 \ <=> A "bijektiv" <=> "invertierbar"$
    ]

+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform]
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische Vektorräume]
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorVR)[
+        #subHeading(fill: colorVR)[Unitair Vektorräume ]
+    ]
+
+
+    // Matrix Typem
    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
+        #let colblue(x) = text(fill: blue, $#x$)
+
        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
+        #align(center, scale($colred(m "Zeilen") colblue(n "Splate")\ A in KK^(colred(m) times colblue(n))$, 120%)) #grid(columns: (1fr, 1fr),
+        $quad mat(
+                a_11, a_12, ..., a_(1n);
+                a_21, a_22, ..., a_(2n);
+                dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
+                a_(m 1), a_(m 2), ..., a_(m n)
+            )
+        $,
+            
+            cetz.canvas({
+                    import cetz.draw : *

-        *Einheits Matrix* $I,E$
+                    rect((0, 0), (1, 1), fill: rgb("#9292926b"))

-        *Diagonalmatrix*
+                    set-style(mark: (end: (symbol: "straight")))
+                    line((0, -0.2), (1, -0.2), stroke: (paint: blue, thickness: 0.3mm))
+                    line((-0.2, 1), (-0.2, 0), stroke: (paint: red, thickness: 0.3mm))

-        *Symetrisch* $S$: \
-        $A A^T$ ist symetrisch
-        
-        *Orthogonal* $O$:
+                    content((-0.45, 0.5), $colred(bold(m))$)
+                    content((0.5, -0.35), $colblue(bold(n))$)
+                    content((0.5, 0.5), $A$)
+                })
+        )

-        *Unitair:*
+        #table(
+            columns: (auto, 1fr),
+            inset: 2mm,
+            fill: (x, y) => if (calc.rem(y, 2) == 0) { tableFillLow } else { tableFillHigh },
+            [*Einheits Matrix*\ $I,E$], [],
+            [*Diagonalmatrix* \ $Sigma,D$], [
+                Nur Einträger auf Hauptdiagonalen \
+                $det(D) = d_00 dot d_11 dot d_22 dot ...$
+            ],
+            [*Symetrisch*\ $S$], [
+                $S = S^T$, $S in KK^(n times n)$\
+                $A A^T$, $A^T A$ ist symetrisch \
+                $S$ immer diagonaliserbar \
+                EW immer $in RR$, EV orthogonal
+            ],
+            [*Invertierbar*], [
+                $exists A^(-1) : A A^(-1) = A^(-1) A = E$ \

-        *postiv-semi-definit* \
-        $forall$ Eigenwerte $>= 0$
+                *Invertierbar wenn:* \
+                $A$ bijektiv, $det(A) = 0$ \
+                $"Spalten Vekoren lin. unabhänig"$ \
+                $det(A) = 0$ \                
+
+                *Nicht Invertierbar wenn:*\
+                $exists$ EW $!= 0 => not "invertierbar"$
+                Keine Qudratische Matrix
+            ],
+            [*Orthogonal*\ $O$], [
+                $O^T = O^(-1)$ \
+                $ip(O v, O w) = ip(v, w)$
+            ],
+            [*Unitair*], [
+
+            ],
+            [*Diagonaliserbar*], [
+                $exists A = B D B^(-1)$, $D$ diagonal,
+
+                $B$: Splaten sind EV von $A$
+
+                - Selbst-Adujunkte diagonalisierbar
+                - Symetrisch Matrix
+                - $A in KK^(n times n) "AND" alg(lambda) = geo(lambda)$
+            ],
+            [*postiv-semi-definit*], [
+                $forall$ EW $>= 0$
+            ],
+        )
    ]

-    #colbreak()
+    #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[

-    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Eigenwert und Eigenvektoren ]
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ]

        $A in CC^(n times n):$ $n$ Complexe Eigenwerte \
        $A in RR^(n times n)$

-        *Eigentwete bestimmen*
+        *1. Eigentwete bestimmen*
        
-        $A v = lambda v$
+        $A v = lambda v => det(A-E lambda) = 0$

-        Lösen: $0 = det mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_1$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
+        $0 = det mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_1$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
            x_21, #mannot.markhl($x_22 - lambda_2$, color: red), ..., x_(2n);
            dots.v, dots.v, dots.down,  dots.v;
            x_(n 1), x_(n 2), ..., #mannot.markhl($x_(n n) -lambda_n$, color: red)
        )$

-        Charakteristisches Polynom: $chi_(A)$
+        $--> chi_A = (lambda_0 - lambda)^(n_0) dot (lambda_1 - lambda)^(n_1) ... $


-        *Eigenvektor bestimmen*
+        $lambda_0, lambda_1, ... = $ Nst von $chi_A$
+
+
+        *2. Eigenvektor bestimmen*
        
-        Eigentwerte einsetzen: $lambda in {lambda_1, lambda_2, ... lambda}$
+        $Eig(lambda_k) = kern(A - lambda_k E)$
+        
+        $mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_k$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
+            x_21, #mannot.markhl($x_22 - lambda_k$, color: red), ..., x_(2n);
+            dots.v, dots.v, dots.down,  dots.v;
+            x_(n 1), x_(n 2), ..., #mannot.markhl($x_(n n) -lambda_k$, color: red)
+        ) vec(v_1, v_2, dots.v, v_n) = vec(0, 0, dots.v, 0)$


-        *Algebrasche Vielfacheit:* \
-        $sum$ Häufikeit der Nsts von $chi_A$

-        *Geometrische Vielfacheit:*\
-        $dim(op("spann")(v_lambda_1, v_lambda_2 ..., v_lambda_n))$ \
+        *Algebrasche Vielfacheit:* $alg(lambda) = n_0 + n_1 + ...$ \
+        *Geometrische Vielfacheit:* $geo(lambda) = dim("Eig"_A (lambda))$ \

-        Anzahl der linearunabhänige $v_lambda_i$ 
+        $1 <= geo(lambda) <= alg(lambda)$

-        $"Geometrische" <= "Algebrasche"$
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB]
+
+
+
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Diagonalisierung]
+        $A = R D R^(-1)$
+
+        #grid(
+            columns: (1fr, 1fr),
+            $D = mat(
+                lambda_1, 0, 0,...;
+                0, lambda_1, 0, ...;
+                0, 0, lambda_2, ...;
+                dots.v, dots.v, dots.v, dots.down
+            )$,
+
+            $D^n = mat(
+                lambda_1^n, 0, 0,...;
+                0, lambda_1^n, 0, ...;
+                0, 0, lambda_2^n, ...;
+                dots.v, dots.v, dots.v, dots.down
+            )$
+        ) \
+
+        *Rezept Diagonalisierung*
+
+        1. *EW* bestimmen
+        2. $chi_A$ bestimmen und in $(lambda_0 - lambda)^(n_0) dot (lambda_1 - lambda)^(n_1) ...$ Form bringen \
+            $chi_A$ nicht vollstandig zerfällt (in $RR$), $=>$ NICHT diagonalisierbar
+        3. *EV* bestimmen
+        4. $R = mat( bar, bar, ..; v_(lambda 0), v_(lambda 1), ...; bar, bar, ...)$
+        5. $R^(-1)$ bestimmen 
+    ]
+
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Schur-Zerlegung]
+        immer anwendbar; 
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
+        #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[SVD]
+
+        $A in RR^(m times n)$ zerlegbar in $A = U Sigma V^T$ \
+
+
+        $U in RR^(m times m)$ Orthogonal \
+        $Sigma in RR^(m times n)$ Diagonal \
+        $V in RR^(n times n)$ Orthogonal
+
+
+        1. $A^T A$ berechnen $A^T A in RR^(k times k), k = min(n, m)$
+
+        2. Eigenwerte bestimmen $det(A^T A - E lambda) = 0$ \
+            $lambda_0, lambda_1 ... lambda_k$ nach Größe sortieren \
+            Singulärewerte: $sigma_i = sqrt(lambda_i)$
+
+        3. Eigenvekoren von $A^T A$ bestimmen und *Normalisieren*
+            $v_(lambda 0), v_(lambda 1), ... v_(lambda k)$ 
+
+        4. $V = mat( |, |, ..., |; v_0, v_1, ..., v_n; |, |, ..., |) --> V^T$ \
+            (Evt. zu ONB ergenze mit Gram-Schmit/Kreuzprodukt)
+
+        5. $u_i = 1/sigma_i A v_(lambda i) quad quad L = mat( |, |, ..., |; u_0, u_1, ..., u_m; |, |, ..., |)$ \
+            (Evt. zu ONB ergenze mit Gram-Schmit/Kreuzprodukt)
+
+        6. $S in RR^(n times m)$ (wie $A$):
+
+            $S = mat(sigma_0, 0; 0, sigma_1; dots.v, dots.v; 0, 0) quad quad quad S = mat(sigma_0, 0, dots, 0; 0, sigma_1, ..., 0)$
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen]
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Rekursive Folgen]
+
+        E.g: $a_1 x_(n-1) + a_2 x_(n) = x_(n+1)$
+
+        1. Als Matrix Schreiben $F: vec(x_(n-1), x_(n)) = vec(x_n, x_(n+1))$ \
+            $F s_(n-1) = s_(n)$
+
+        2. Diagonaliseren: $F = R D R^(-1) $ \
+        3. Wiederholte Anwendung: $F^n = R D^n R^(-1)$

    ]

    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Diagonalisierung]
-
-        $A = R D R^T$
-
-        $D$: Diagonalmatrix
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Differenzialgleichungen]
    ]
-
-    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[Schur-Zerlegung]
-        immer anwendbar;
-
-        $A in RR^(n times n)\/CC^(n times n)$ zerlegbar in $O^T R O$
-    
-        Orthogonal $O,O^T$, Dreiecksmatrix $R$
-
-        $R = mat(lambda_1, *, *,..., *;
-            0, lambda_2, *, ..., *;
-            0, 0, lambda_3, ..., *;
-            dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
-            0, 0, 0, ..., lambda_n;
-        )$
-
-        1. Eigenwerte bestimmen $lambda_1, lambda_2, ... lambda_n$
-        2. Eigenvektor $v_lambda_1, v_lambda_2 ..., v_lambda_n$
-        3. 
-    ]
-
-    #colbreak()
-    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
-        #subHeading(fill: colorMatrix)[SVD]
-
-        $A in RR^(n times m)$ zerlegbar in $A = L S R^T$ \
-        $L$ Orthogonal, $S$ Diagonalmatrix, $R$ Orthogonal \
-        $A^T = R S^T L^T$
-
- 
-        *1. $A A^T$ berechnen* $A A^T in RR^(n times n) $
-
-        *2. Eigenwerte von $A A^T$ bestimmen* $lambda_1, lambda_2, ... lambda_n$
-
-        *3. $S$ aufstellen* ($S$ hat gleiche Form wie $A$)
-        
-        $sigma_i = sqrt(lambda_i) =  S in RR^(n x m) =\ mat(
-            sigma_1, 0, 0, ..., 0, 0, ..., 0;
-            0, sigma_2, 0, ..., 0, 0, ..., 0;
-            0, 0, sigma_3, ..., 0, 0, ..., 0;
-            dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
-            0, 0, 0, ..., sigma_m, 0, ... , 0
-        )$
-
-        *4. $R$ bestimmen*
-
-        $op("Eig")(lambda_i) = op("kern")(A A^T - lambda_i) ->$
-
-        $A A^T - lambda_i = 0$ (Gaußverfahren)
-
-        $R = 1/sqrt(lambda_i)$
-
-        *5. $L$ bestimmen*
-        
-        $L = 1/sqrt(lambda_i) $
-    ]
-
-
-
-
 ]

--- a/src/cheatsheets/Schaltungstheorie.typ
+++ b/src/cheatsheets/Schaltungstheorie.typ
@@ -977,13 +977,7 @@
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]

-    #grid(
-      columns: (auto, auto),
-      row-gutter: 2mm,
-      column-gutter: 3mm,
-      [Euler-Darstellung], $A e^(j phi)$,
-      [Catesiche-Darstellung], $a + b j$
-    )
+    #ComplexNumbersSection(i: $j$)


  ]
--- a/src/lib/common_rewrite.typ
+++ b/src/lib/common_rewrite.typ
@@ -53,4 +53,19 @@
    },
    table.hline(stroke: (thickness: 0.3mm)),
  )
+]
+
+#let ComplexNumbersSection(i: $i$) = [
+  $1/#i = #i^(-1) = -#i quad quad #i^2=-1 quad quad sqrt(#i) = 1/sqrt(2) + 1/sqrt(2)#i$
+
+  $z in CC = a + b #i quad quad quad z = r dot e^(phi #i)$ \
+  $z_0 + z_1 = (a_0 + a_1) + (b_0 + b_1) #i$\
+  $z_0 dot z_1 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + #i (a_1b_2 + a_2 b_1) = r_0 r_1 e^(#i (phi_0 + phi_1))$\
+  $z^x = r^x dot e^(phi #i dot x) quad x in RR$ \
+  $z_0/z_1 = r_0/r_1 e^(#i (phi_0 - phi_1)) quad quad quad$
+
+  $r = abs(z) quad phi = cases(
+    + arccos(a/r) space : space b >= 0,
+    - arccos(a/r) space : space b < 0,
+  )$
 ]