Finished analysis

src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -76,30 +76,19 @@
         *Binomische Formel*\
         $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       ],
-      [
+
-        *Bekannte Werte* \
-          $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
-          $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
-      ],
       [
         *Gaußklammer*: \
           $floor(x) = text("floor")(x)$ \
           $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \
       ],
       [
-        *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \
       ],
-      [
-        *Mitternachtsformel*
-        $x_(1,2) =  (-b plus.minus sqrt(b^2 + 4a c))/(2a)$
-      ],
-      [
-        *Binomische Formel*\
-        $(a + b)^2 = a^2 + 2a b + b^2$\
-        $(a - b)^2 = a^2 - 2a b + b^2$\
-        $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$\
-      ]
     )
+
+    $bold("Fakultäten") 0! = 1! = 1\
+    e approx  2.71828 quad quad quad pi approx 3.14159
+    $
   ]
 
   // Complex Zahlen
@@ -144,22 +133,17 @@
       gutter: 2mm,
       columns: (auto, auto, auto),
       $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$,
-      $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$,
+      $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$
-      $cos(-x) = cos(x)$,
-      $sin(-x) = -sin(x)$,
-      grid.cell(colspan: 2, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$)
     )
 
-    Subsitution mit Hilfsvariable
+    $tan(x)=sin(x)/cos(x) = -cot(x + pi/2)$
+
+    $cot(x)=cos(x)/sin(x)=-tan(x + pi/2)$
 
     #grid(
       gutter: 5mm,
       row-gutter: 3mm,
       columns: (auto, auto),
-      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
-      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
-      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
-      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
       [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
       [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],    
     
@@ -377,13 +361,13 @@
     
     *Reihendarstellungen*
     #grid(
-      columns: (1fr, 1fr),
+      columns: (1fr),
       gutter: 3mm,
       row-gutter: 3mm,
-      $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$,
+      $e^x = limits(sum)_(n=0)^m (x^n)/(n!) + O(x^(m+1))$,
-      $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$,
+      $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n x^(n+1) + O(x^(m+1))$,
-      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!)$,
+      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!) + O(x^(2m + 3))$,
-      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n))/((2n)!)$
+      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n))/((2n)!) + O(x^(2m + 2))$
     )
   ]
 
@@ -613,12 +597,25 @@
 
     *Subsitution*
 
-    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
+    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) d x = integral_g(x_0)^g(x_1) f(t) dot <1/(g'(x)) d t$
+    
+
 
     1. Ersetzung: $t := g(x)$
     2. Umformen:
-      $(d y)/(d x) = g'(x)$
+      $(d t)/(d x) = g'(x)$
-    3. $x$-kürzen sich weg
+
+    *Weierstrass Subsitution/Brechstange* \
+    Subsitution: $t = tan(x/2)$
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr),
+      row-gutter: 2.8mm,
+      $d x = 2/(1+t^2) d t$,
+      $sin(x) = 2t / (1 + t^2)$,
+      $tan(x) = (2t)/(1-t^2)$,
+      $cos(x) = (1-t^2) / (1 + t^2)$,
+    )
   ])
 
   #bgBlock(fill: colorIntegral, [
@@ -653,11 +650,10 @@
 
     *Subsitution*
 
-    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d x$
+    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d t$
     
-    1. Ersetzung: $ d x := d t dot g'(x)$ und $t := g(x)$
+    1. Ersetzung: $ d x := 1/g'(x) dot d t$ und $t := g(x)$
     2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
-    3. $x$-kürzen sich weg
 
     *Absolute "Konvergenz"* \
     Wenn $g(x)$ konvergent, 
@@ -680,20 +676,13 @@
     5. $A,B,...$ :
       Nst einsetzen, dann Koeffizientenvergleich
     6. *Intergral wiederzusammen setzen $+c$*
-    7. Summen teile Integrieren
+    7. *Summen teile Integrieren*
-
-    $delta = 4a - b^2$
-    #grid(columns: (auto, auto),
-      row-gutter: 2mm,
-      column-gutter: 2mm,
-      $integral 1/(x - x_0)$, $ln abs(x - x_0)$,
-      $integral 1/((x - x_0)^n)$, $-1/((n-1)(x-x_0)^(n-1))$,
-      $integral 1/(x^2 + b x + c)$, $2/sqrt(delta) arctan((2x + b)/sqrt(delta))$,
-      $integral 1/((x^2 + b x + c)^n)$, $(2x + b)/((n-1)(sigma)(x^2+b x +c)^(n-1)) + \
-        (2(2n-3))/((n-1)(delta)) + (C )
-      $,
-    )
 
+    $integral 1/(x-a) d x = ln(x - a) + c\
+    integral 1/(x-a)^n d x = - 1/(n-1) 1/(x - a)^(n-1) + c quad "für" n >= 2 \
+    integral 1/((x - a)^2 + b^2) d x = 1/b arctan((x - a)/b) + c quad "für" n > 0\
+    integral (x - a)/((x-a)^a + b^2) d x  = 1/2 ln((x-a)^2 + b^2) + c
+    $
 
 
   ])
@@ -703,6 +692,8 @@
     #sinTable
   ])
 
+  /*
+  // Notwending und Hinreichend
   #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
     #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notwending und Hinreiched]
 
@@ -718,4 +709,62 @@
       $not "hin." arrow.r.double.not "Satz"$,
     )
   ])
+  */
+
+  // Taylor Reihen
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Taylorreihe]
+
+    $T_m (x_0;x) = sum^m_(k=0) (f^((k))(x_0))/(k!) (x-x_0)^k$
+
+    $f(x) = T_m (x_0;x) + R_(m+1)(x_0;x)$
+
+    *Restglied* \
+    $I = (a,b) quad x_0,x in I$
+    
+    $R_(m+1) (x) = 1/(m!) integral_(x_0)^x (x-t)^m f^((m+1))(t) d t$ \
+
+    $forall x in I space space exists xi_x in I "sodass" \
+    R_(m+1)(x_0;x) = (f^((m+1))(xi_x))/((m + 1)!) (x - x_0)^(m+1)\ 
+    = f(x_0 + h) - T_m (x_0; x_0 + h) = o(h^m) = O(h^(m+1))$
+  ]
+
+  // Lamdauer Notation
+  #bgBlock(fill: colorFolgen, [
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Landau Notation]
+
+    $f(x) = o(g(x)) "wenn" lim_(x->a) f(x)/g(x) = 0 \
+      f(x) = O(g(x)) "wenn" abs(f(x)) <= abs(g(g))$
+
+    *Rechen Regelen* \
+    - $f = o(g) => f = O(g)$
+    - $f_1 + f_2 = O\/o(f_1) + O\/o(f_2)$
+    - $f_1 dot f_2 = O\/o(f_1 dot f_2)$
+
+
+  ])
+
+  // Kurven
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Kurven]
+
+    Länge einer Kurve $k(t)$: $L(k) = integral_a^b norm(k'(t)) d t$
+
+    Umparametrisierung: $h(tau)$ *streng monoton steigended* \
+    $h(tau): [a,b] -> [overline(a), overline(b)]$
+
+    $overline(k): [overline(a), overline(b)] -> R^n, quad overline(k) = k(h(tau))$
+
+    Parametriesierung nach Länge: \
+    $s(t) = integral_a^t norm(k'(tau)) d tau quad overline(k)(tau) = k(s^(-1)(tau))$
+
+    Wenn $k$ nach Länge param.: $T(t) =k'(t)$
+
+    Tangentenvektor: $T(t) = (k'(t))/norm(k'(t))$ \
+    Krümmung: $kappa(t) = 1/(s'(t)) norm(T'(t))$
+
+
+    $RR^2: kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))/((x'(t)^2 + y'(r)^2)^(3/2))$ \
+    Param Länge: $kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))$
+  ]
 ]