diff --git a/src/cheatsheets/Analysis1.typ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ index fd474f3..9a8b835 100644 --- a/src/cheatsheets/Analysis1.typ +++ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ @@ -76,30 +76,19 @@ *Binomische Formel*\ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ], - [ - *Bekannte Werte* \ - $e approx 2.71828$ ($2 < e < 3$) \ - $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$) - ], + [ *Gaußklammer*: \ $floor(x) = text("floor")(x)$ \ $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \ ], [ - *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \ ], - [ - *Mitternachtsformel* - $x_(1,2) = (-b plus.minus sqrt(b^2 + 4a c))/(2a)$ - ], - [ - *Binomische Formel*\ - $(a + b)^2 = a^2 + 2a b + b^2$\ - $(a - b)^2 = a^2 - 2a b + b^2$\ - $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$\ - ] ) + + $bold("Fakultäten") 0! = 1! = 1\ + e approx 2.71828 quad quad quad pi approx 3.14159 + $ ] // Complex Zahlen @@ -144,22 +133,17 @@ gutter: 2mm, columns: (auto, auto, auto), $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$, - $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$, - $cos(-x) = cos(x)$, - $sin(-x) = -sin(x)$, - grid.cell(colspan: 2, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$) + $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$ ) - Subsitution mit Hilfsvariable + $tan(x)=sin(x)/cos(x) = -cot(x + pi/2)$ + + $cot(x)=cos(x)/sin(x)=-tan(x + pi/2)$ #grid( gutter: 5mm, row-gutter: 3mm, columns: (auto, auto), - [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$], - [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$], - [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$], - [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$], [$cos(x - pi/2) = sin(x)$], [$sin(x + pi/2) = cos(x)$], @@ -377,13 +361,13 @@ *Reihendarstellungen* #grid( - columns: (1fr, 1fr), + columns: (1fr), gutter: 3mm, row-gutter: 3mm, - $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$, - $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$, - $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!)$, - $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n))/((2n)!)$ + $e^x = limits(sum)_(n=0)^m (x^n)/(n!) + O(x^(m+1))$, + $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n x^(n+1) + O(x^(m+1))$, + $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!) + O(x^(2m + 3))$, + $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n))/((2n)!) + O(x^(2m + 2))$ ) ] @@ -446,7 +430,7 @@ *Allgemein* $f(x)$ ist stetig wenn: \ - $ limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0) $ \ + $limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0)$ \ $x in DD$ Beachten! Definitionslücken $!=$ unstätig \ Definition gilt auch für $I subset RR$ @@ -613,12 +597,25 @@ *Subsitution* - $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$ + $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) d x = integral_g(x_0)^g(x_1) f(t) dot <1/(g'(x)) d t$ + + 1. Ersetzung: $t := g(x)$ 2. Umformen: - $(d y)/(d x) = g'(x)$ - 3. $x$-kürzen sich weg + $(d t)/(d x) = g'(x)$ + + *Weierstrass Subsitution/Brechstange* \ + Subsitution: $t = tan(x/2)$ + + #grid( + columns: (1fr, 1fr), + row-gutter: 2.8mm, + $d x = 2/(1+t^2) d t$, + $sin(x) = 2t / (1 + t^2)$, + $tan(x) = (2t)/(1-t^2)$, + $cos(x) = (1-t^2) / (1 + t^2)$, + ) ]) #bgBlock(fill: colorIntegral, [ @@ -653,11 +650,10 @@ *Subsitution* - $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d x$ + $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d t$ - 1. Ersetzung: $ d x := d t dot g'(x)$ und $t := g(x)$ + 1. Ersetzung: $ d x := 1/g'(x) dot d t$ und $t := g(x)$ 2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$ - 3. $x$-kürzen sich weg *Absolute "Konvergenz"* \ Wenn $g(x)$ konvergent, @@ -680,20 +676,13 @@ 5. $A,B,...$ : Nst einsetzen, dann Koeffizientenvergleich 6. *Intergral wiederzusammen setzen $+c$* - 7. Summen teile Integrieren - - $delta = 4a - b^2$ - #grid(columns: (auto, auto), - row-gutter: 2mm, - column-gutter: 2mm, - $integral 1/(x - x_0)$, $ln abs(x - x_0)$, - $integral 1/((x - x_0)^n)$, $-1/((n-1)(x-x_0)^(n-1))$, - $integral 1/(x^2 + b x + c)$, $2/sqrt(delta) arctan((2x + b)/sqrt(delta))$, - $integral 1/((x^2 + b x + c)^n)$, $(2x + b)/((n-1)(sigma)(x^2+b x +c)^(n-1)) + \ - (2(2n-3))/((n-1)(delta)) + (C ) - $, - ) + 7. *Summen teile Integrieren* + $integral 1/(x-a) d x = ln(x - a) + c\ + integral 1/(x-a)^n d x = - 1/(n-1) 1/(x - a)^(n-1) + c quad "für" n >= 2 \ + integral 1/((x - a)^2 + b^2) d x = 1/b arctan((x - a)/b) + c quad "für" n > 0\ + integral (x - a)/((x-a)^a + b^2) d x = 1/2 ln((x-a)^2 + b^2) + c + $ ]) @@ -703,6 +692,8 @@ #sinTable ]) + /* + // Notwending und Hinreichend #bgBlock(fill: colorAllgemein, [ #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notwending und Hinreiched] @@ -718,4 +709,62 @@ $not "hin." arrow.r.double.not "Satz"$, ) ]) + */ + + // Taylor Reihen + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung)[Taylorreihe] + + $T_m (x_0;x) = sum^m_(k=0) (f^((k))(x_0))/(k!) (x-x_0)^k$ + + $f(x) = T_m (x_0;x) + R_(m+1)(x_0;x)$ + + *Restglied* \ + $I = (a,b) quad x_0,x in I$ + + $R_(m+1) (x) = 1/(m!) integral_(x_0)^x (x-t)^m f^((m+1))(t) d t$ \ + + $forall x in I space space exists xi_x in I "sodass" \ + R_(m+1)(x_0;x) = (f^((m+1))(xi_x))/((m + 1)!) (x - x_0)^(m+1)\ + = f(x_0 + h) - T_m (x_0; x_0 + h) = o(h^m) = O(h^(m+1))$ + ] + + // Lamdauer Notation + #bgBlock(fill: colorFolgen, [ + #subHeading(fill: colorFolgen)[Landau Notation] + + $f(x) = o(g(x)) "wenn" lim_(x->a) f(x)/g(x) = 0 \ + f(x) = O(g(x)) "wenn" abs(f(x)) <= abs(g(g))$ + + *Rechen Regelen* \ + - $f = o(g) => f = O(g)$ + - $f_1 + f_2 = O\/o(f_1) + O\/o(f_2)$ + - $f_1 dot f_2 = O\/o(f_1 dot f_2)$ + + + ]) + + // Kurven + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung)[Kurven] + + Länge einer Kurve $k(t)$: $L(k) = integral_a^b norm(k'(t)) d t$ + + Umparametrisierung: $h(tau)$ *streng monoton steigended* \ + $h(tau): [a,b] -> [overline(a), overline(b)]$ + + $overline(k): [overline(a), overline(b)] -> R^n, quad overline(k) = k(h(tau))$ + + Parametriesierung nach Länge: \ + $s(t) = integral_a^t norm(k'(tau)) d tau quad overline(k)(tau) = k(s^(-1)(tau))$ + + Wenn $k$ nach Länge param.: $T(t) =k'(t)$ + + Tangentenvektor: $T(t) = (k'(t))/norm(k'(t))$ \ + Krümmung: $kappa(t) = 1/(s'(t)) norm(T'(t))$ + + + $RR^2: kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))/((x'(t)^2 + y'(r)^2)^(3/2))$ \ + Param Länge: $kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))$ + ] ]