Erweiterung Analysis

src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -200,25 +200,24 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
     - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
       (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
+  ]
 
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital]
+    $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$
 
-    *L'Hospital*
-    
-      $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$
+    (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$)
 
-      (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$)
+    Bendingungen:
+    1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$
+    2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$
+    3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert
 
-      Bendingungen:
-      1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$
-      2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$
-      3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert
+    $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$
 
-      $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$
-
-      Kann auch Reksuive angewendet werden!
-
-      Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$
+    Kann auch Reksuive angewendet werden!
 
+    Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
@@ -331,28 +330,52 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     )
   ]
 
-  #colbreak()
-
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]
-    Sei $f : [a,b] -> RR$, stetig auf $x in [a,b]$
-    - *Zwischenwertsatz* \
-      $=> forall y in [f(a), f(b)] exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
-      _Beweiß für mindest. n Nst_
-    - *Satze von Rolle* \
-      diffbar $x in (a,b)$\
-      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$
-      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_
 
-    - *Mittelwertsatz*
-      diffbar $x in (a,b)$ \
+    $f(x) = y, f : A -> B$
+
+    *Injectiv (Monomorphismus):* one to one\ 
+    $f(x) = f(y) <=> x = y quad$
+    
+    *Surjectiv (Epimorhismis):* Output space coverered \
+    - $forall x in B : exists x in A : f(x) = y$
+
+    *Bijektiv*
+
+    injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar
+  ]
+
+  #colbreak()
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze]
+    $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig
+
+    $f(x)$ stetig diff'bar $=> f(x)$ diff'bar, stetig UND $f'(x)$ stetig
+
+    #line(length: 100%, stroke: 0.3mm)
+
+    Sei $f : I =[a,b] -> RR$, stetig auf $x in I$
+
+
+    - *Zwischenwertsatz* \
+      $=> forall y in ["min", "max"] space exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
+      _Beweiß für mindest. n Nst_
+
+    - *Mittelwertsatz der Diff'rechnung* \
+      diff'bar $x in (a,b)$ \
       $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$
 
-    - *Monotonie* \
-      $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \
-      $x_0,x_1 in I,  x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \
-      (Analog bei (streng ) steigned/fallended) \
-      Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ 
+    - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\
+
+
+    - *Satze von Rolle* \
+      diffbar $x in (a,b)$\
+      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$\
+      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_
+
+    - *Hauptsatz der Integral und Diff'rechnung*
+
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
@@ -401,7 +424,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     *Differenzierbarkeit*
     - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
       #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
-    - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
     - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
       - Beste #underline([linear]) Annäherung
       - Tangente $t(x)$ von $f(x)$ an der Stelle $x_0$: $ lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) -f'(x_0) =0 $
@@ -470,6 +492,73 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
       [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$],
     )
   ])
+  #colbreak()
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie]
+
+    *Monotonie* $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) <= f(x_1)$
+
+    Hinreichende: $f'(x) >= 0$ \
+    Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ 
+
+    *Streng Monoton*
+    $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) < f(x_1)$ \
+    
+    Notwendig: $f'(x) >= 0$ (Aber nicht hinreichend)
+
+    *Extremstellen Kandiaten*
+    1. $f'(x) = 0$
+    2. Definitionslücken
+    3. Randstellen von $DD$
+
+    #grid(columns: (1fr, 1fr),
+      gutter: 2mm,
+      [
+        *Minima*\
+        $x_0,x in I : f(x_0) < f(x)$ \
+        $f''(x) > 0 $ \
+        $f'(x) : - space 0 space +$ 
+      ],
+      [
+        *Maxima*\
+        $x_0,x in I : f(x_0) > f(x)$ \
+        $f''(x) < 0$ \
+        $f'(x) : + space 0 space -$
+      ],
+      [
+        *Wendepunkt*\
+        $f''(x) = 0$ \
+        $f'(x) : plus.minus space ? space plus.minus$
+      ],
+      [
+        *Stattelpunkt/Terrasenpunkt* \
+        $f'''(x) != 0$
+        $f''(x) = 0$ UND $f'(x) = 0$ \
+        $f'(x) : plus.minus space 0 space plus.minus$ \
+      ],
+      [
+        *Extremstelle* \
+        $f'(x) = 0$
+      ]
+    )
+
+    #grid(columns: (1fr, 1fr),
+      gutter: 2mm,
+      [
+        *konkav* $f''(x) <= 0$ \ rechtsgekrümmt \
+        Sekante liegt unter $f(x)$ \
+        (eingebäult, von $y= -infinity$ aus)
+      ],
+      [
+        *konvex* $f''(x) >= 0$ \ linksgekrümmt \
+        Sekante liegt über $f(x)$ \
+        (ausgebaucht, von $y= -infinity$ aus)
+      ]
+    )
+
+    *Strange Konkav/Konvex* \
+    Notwendig $f''(x) lt.gt 0$
+  ]
 
 
   #bgBlock(fill: colorIntegral, [
@@ -552,12 +641,28 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
     $abs(f(x)) <= g(x) => $ $f(x)$ konvergent
   ])
 
+  #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
+    #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table])
+    #sinTable
+  ])
+
+  #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
+    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Bedingungen]
+
+    #grid(columns: (1fr, 1fr),
+      gutter: 2mm,
+      inset: (left: 2mm, right: 2mm),
+      $not "notwending" => not "Satz"$,
+      $"hinreichend" => "Satz"$,
+      $"Satz" => forall "notwending" $,
+      $not "Satz" => forall not "hinreichend" $,
+
+      $"notwending" arrow.r.double.not "Satz"$,
+      $not "hinreichend" arrow.r.double.not "Satz"$,
+    )
+  ])
 ]
 
-#bgBlock(fill: colorAllgemein, [
-  #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table])
-  #sinTable
-])
 
 #pagebreak()