From 62d6ce0e5c5883e069d070659243174e0b247880 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: alexander Date: Sun, 25 Jan 2026 17:12:34 +0100 Subject: [PATCH] Erweiterung Analysis --- src/cheatsheets/Analysis1.typ | 175 +++++++++++++++++++++++++++------- src/lib/common_rewrite.typ | 20 ++-- 2 files changed, 153 insertions(+), 42 deletions(-) diff --git a/src/cheatsheets/Analysis1.typ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ index 7c27883..f310df7 100644 --- a/src/cheatsheets/Analysis1.typ +++ b/src/cheatsheets/Analysis1.typ @@ -200,25 +200,24 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) + ] + #bgBlock(fill: colorFolgen)[ + #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital] + $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$ - *L'Hospital* - - $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$ + (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$) - (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$) + Bendingungen: + 1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$ + 2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$ + 3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert - Bendingungen: - 1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$ - 2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$ - 3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert + $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$ - $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$ - - Kann auch Reksuive angewendet werden! - - Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$ + Kann auch Reksuive angewendet werden! + Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$ ] #bgBlock(fill: colorFolgen)[ @@ -331,28 +330,52 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ) ] - #colbreak() - #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen] - Sei $f : [a,b] -> RR$, stetig auf $x in [a,b]$ - - *Zwischenwertsatz* \ - $=> forall y in [f(a), f(b)] exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \ - _Beweiß für mindest. n Nst_ - - *Satze von Rolle* \ - diffbar $x in (a,b)$\ - $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$ - _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_ - - *Mittelwertsatz* - diffbar $x in (a,b)$ \ + $f(x) = y, f : A -> B$ + + *Injectiv (Monomorphismus):* one to one\ + $f(x) = f(y) <=> x = y quad$ + + *Surjectiv (Epimorhismis):* Output space coverered \ + - $forall x in B : exists x in A : f(x) = y$ + + *Bijektiv* + + injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar + ] + + #colbreak() + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze] + $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig + + $f(x)$ stetig diff'bar $=> f(x)$ diff'bar, stetig UND $f'(x)$ stetig + + #line(length: 100%, stroke: 0.3mm) + + Sei $f : I =[a,b] -> RR$, stetig auf $x in I$ + + + - *Zwischenwertsatz* \ + $=> forall y in ["min", "max"] space exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \ + _Beweiß für mindest. n Nst_ + + - *Mittelwertsatz der Diff'rechnung* \ + diff'bar $x in (a,b)$ \ $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$ - - *Monotonie* \ - $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \ - $x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \ - (Analog bei (streng ) steigned/fallended) \ - Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ + - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\ + + + - *Satze von Rolle* \ + diffbar $x in (a,b)$\ + $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$\ + _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_ + + - *Hauptsatz der Integral und Diff'rechnung* + ] #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ @@ -401,7 +424,6 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ *Differenzierbarkeit* - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \ #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $) - - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ - Beste #underline([linear]) Annäherung - Tangente $t(x)$ von $f(x)$ an der Stelle $x_0$: $ lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) -f'(x_0) =0 $ @@ -470,6 +492,73 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$], ) ]) + #colbreak() + #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ + #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie] + + *Monotonie* $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) <= f(x_1)$ + + Hinreichende: $f'(x) >= 0$ \ + Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ + + *Streng Monoton* + $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) < f(x_1)$ \ + + Notwendig: $f'(x) >= 0$ (Aber nicht hinreichend) + + *Extremstellen Kandiaten* + 1. $f'(x) = 0$ + 2. Definitionslücken + 3. Randstellen von $DD$ + + #grid(columns: (1fr, 1fr), + gutter: 2mm, + [ + *Minima*\ + $x_0,x in I : f(x_0) < f(x)$ \ + $f''(x) > 0 $ \ + $f'(x) : - space 0 space +$ + ], + [ + *Maxima*\ + $x_0,x in I : f(x_0) > f(x)$ \ + $f''(x) < 0$ \ + $f'(x) : + space 0 space -$ + ], + [ + *Wendepunkt*\ + $f''(x) = 0$ \ + $f'(x) : plus.minus space ? space plus.minus$ + ], + [ + *Stattelpunkt/Terrasenpunkt* \ + $f'''(x) != 0$ + $f''(x) = 0$ UND $f'(x) = 0$ \ + $f'(x) : plus.minus space 0 space plus.minus$ \ + ], + [ + *Extremstelle* \ + $f'(x) = 0$ + ] + ) + + #grid(columns: (1fr, 1fr), + gutter: 2mm, + [ + *konkav* $f''(x) <= 0$ \ rechtsgekrümmt \ + Sekante liegt unter $f(x)$ \ + (eingebäult, von $y= -infinity$ aus) + ], + [ + *konvex* $f''(x) >= 0$ \ linksgekrümmt \ + Sekante liegt über $f(x)$ \ + (ausgebaucht, von $y= -infinity$ aus) + ] + ) + + *Strange Konkav/Konvex* \ + Notwendig $f''(x) lt.gt 0$ + ] #bgBlock(fill: colorIntegral, [ @@ -552,12 +641,28 @@ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ $abs(f(x)) <= g(x) => $ $f(x)$ konvergent ]) + #bgBlock(fill: colorAllgemein, [ + #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table]) + #sinTable + ]) + + #bgBlock(fill: colorAllgemein, [ + #subHeading(fill: colorAllgemein)[Bedingungen] + + #grid(columns: (1fr, 1fr), + gutter: 2mm, + inset: (left: 2mm, right: 2mm), + $not "notwending" => not "Satz"$, + $"hinreichend" => "Satz"$, + $"Satz" => forall "notwending" $, + $not "Satz" => forall not "hinreichend" $, + + $"notwending" arrow.r.double.not "Satz"$, + $not "hinreichend" arrow.r.double.not "Satz"$, + ) + ]) ] -#bgBlock(fill: colorAllgemein, [ - #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table]) - #sinTable -]) #pagebreak() diff --git a/src/lib/common_rewrite.typ b/src/lib/common_rewrite.typ index 5288ec3..8272635 100644 --- a/src/lib/common_rewrite.typ +++ b/src/lib/common_rewrite.typ @@ -11,8 +11,8 @@ top+center, text( body, - size: 10pt, - weight: "regular", + size: 8pt, + weight: "bold", style: "italic", ) ), @@ -30,15 +30,21 @@ #let sinTable = [ #let data = json("../sintable.json") #table( - columns: data.at("x").len() + 1, + columns: data.len(), rows: data.keys().len(), stroke: none, table.hline(stroke: (thickness: 0.3mm)), fill: (x, y) => if (calc.rem(y, 2) == 0) { color.lighten(gray, 50%) } else { white }, - ..for (label) in data.keys() { - ([*#eval(label, mode: "math")*], table.hline(stroke: (thickness: 0.3mm)), ) - for i in data.at(label) { - (eval(i, mode: "math"),) + + ..for (label) in data.keys() { + ([*#eval(label, mode: "math")*], ) + }, + + table.hline(stroke: (thickness: 0.3mm)), + + ..for (i, v) in data.at("x").enumerate() { + for (col) in data.keys() { + (eval(data.at(col).at(i), mode: "math"),) } } )