178 lines
5.6 KiB
Typst
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Typst
#import "@preview/biceps:0.0.1" : *
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#import "@preview/mannot:0.3.1"
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#import "lib/styles.typ" : *
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#import "lib/common_rewrite.typ" : *
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#set page(
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paper: "a4",
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margin: (
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bottom: 10mm,
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top: 5mm,
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left: 5mm,
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right: 5mm
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),
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flipped:true,
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numbering: "— 1 —",
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number-align: center
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)
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#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
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[Linear Algebra EI]
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))
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#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
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#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
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#let MathAlignLeft(e) = {
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align(left, block(e))
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}
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#columns(4, gutter: 2mm)[
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#bgBlock(fill: colorAllgemein)[
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#subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation]
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]
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#bgBlock(fill: colorGruppen)[
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#subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
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*Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
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- Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
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*Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
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- Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
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*Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
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- Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$
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#SeperatorLine
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*Gruppe:* Monoid mit
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- Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$
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- Eindeutig Lösung für Gleichungen
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Zusatz:
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- Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
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*Untergruppe:*
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- Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
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- $a,b in U <=> a dot b in U$
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- $a in U <=> a^(-1) in U$
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- $e in U$ (Neutrales Element)
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*Direktes Produkt:*\
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$(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \
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$(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$
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#SeperatorLine
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*Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit:
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- $(R, +)$ kommutativ Gruppe
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- $(R, dot)$ Halbgruppe
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- $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
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#colbreak()
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*Körper:* Menge $K$ mit:
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- $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
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($0$ ist Neutrales Element von $+$)
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- $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
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_Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
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]
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#bgBlock(fill: colorReihen)[
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#subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)]
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$(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
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- $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
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- $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
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Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$
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- $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
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- $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
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$(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
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- $1v = v$, $arrow(0) in V$
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Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
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*Untervektorraum:* $U subset V$ \
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$v,w in U, lambda in K$ \
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$ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
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- $(U inter W) subset V$
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]
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#bgBlock(fill: colorReihen)[
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#subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim]
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*Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$
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- $Phi(0) = 0$
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- $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
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- Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$
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*Basis:*\
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linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
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- $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
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- Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$
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*Linear unabhänige:*
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Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$
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*Basisergänzungssatz:* \
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Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
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*Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
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- $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
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#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
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#subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
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$f(x)=y, f: A -> B$
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*Injectiv (Monomorphismus):*\
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_one to one_ \
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$f(x) = f(y) <=> x = y$
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*Surjectiv (Epimorhismis):* \
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_Output space coverered_ \
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- Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
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- $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$
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NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$
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*Bijektiv (Isomorphismus):* \
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_Injectiv und Surjectiv_ \
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- In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
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- isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$
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Beweiß durch Wiederspruch \
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für Gegenbeweiß
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*Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$
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*Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
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*Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
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#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
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#subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
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*Spann:*
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- Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
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- $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
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- $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
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*Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$
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*Bild:* Wertemenge $WW$
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- $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
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- Basis $B : op("spann")(B)$
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- $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
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*Nullraum/Kern:* \
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$op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$
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*Rang*
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$op("Rang") f := dim op("Bild") f$
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