431 lines
14 KiB
Typst
431 lines
14 KiB
Typst
#import "@preview/biceps:0.0.1" : *
|
|
#import "@preview/mannot:0.3.1"
|
|
#import "@preview/fletcher:0.5.8"
|
|
#import "@preview/cetz:0.4.2"
|
|
|
|
#import "../lib/styles.typ" : *
|
|
#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
|
|
#import "../lib/mathExpressions.typ" : *
|
|
|
|
#set page(
|
|
paper: "a4",
|
|
margin: (
|
|
bottom: 10mm,
|
|
top: 5mm,
|
|
left: 5mm,
|
|
right: 5mm
|
|
),
|
|
flipped:true,
|
|
numbering: "— 1 —",
|
|
number-align: center
|
|
)
|
|
|
|
#set text(size: 8pt)
|
|
|
|
#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
|
|
[Linear Algebra EI]
|
|
))
|
|
|
|
#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
|
|
#let colorMatrixVerfahren = color.hsl(330.19deg, 100%, 68.43%)
|
|
#let colorMatrix = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
|
|
#let colorVR = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
|
|
#let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
|
|
#let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
|
|
|
|
|
|
#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
|
|
#let MathAlignLeft(e) = {
|
|
align(left, block(e))
|
|
}
|
|
#columns(4, gutter: 2mm)[
|
|
#bgBlock(fill: colorAllgemein)[
|
|
#subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
|
|
|
|
#ComplexNumbersSection()
|
|
|
|
#sinTable
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|
]
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|
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|
#bgBlock(fill: colorGruppen)[
|
|
#subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
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|
*Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
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|
- Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
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|
*Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
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|
- Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
|
|
*Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
|
|
- Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$
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|
|
#SeperatorLine
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|
|
|
*Gruppe:* Monoid mit
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|
- Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$
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|
- Eindeutig Lösung für Gleichungen
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Zusatz:
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|
- Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
|
|
*Untergruppe:*
|
|
- Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
|
|
- $a,b in U <=> a dot b in U$
|
|
- $a in U <=> a^(-1) in U$
|
|
- $e in U$ (Neutrales Element)
|
|
|
|
*Direktes Produkt:*\
|
|
$(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \
|
|
$(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$
|
|
|
|
|
|
#SeperatorLine
|
|
|
|
*Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit:
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|
- $(R, +)$ kommutativ Gruppe
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|
- $(R, dot)$ Halbgruppe
|
|
- $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
|
|
|
|
*Körper:* Menge $K$ mit:
|
|
- $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
|
|
($0$ ist Neutrales Element von $+$)
|
|
- $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
|
|
_Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorVR)[
|
|
#subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
|
|
$(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
|
|
- $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
|
|
- $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
|
|
Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$
|
|
- $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
|
|
- $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
|
|
$(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
|
|
- $1v = v$, $arrow(0) in V$
|
|
Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
|
|
|
|
*Untervektorraum:* $U subset V$ \
|
|
$v,w in U, lambda in K$ \
|
|
$ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
|
|
- $(U inter W) subset V$
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorVR)[
|
|
#subHeading(fill: colorVR)[Basis und Dim]
|
|
*Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$
|
|
- $Phi(0) = 0$
|
|
- $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
|
|
- Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$
|
|
|
|
*Basis:*\
|
|
linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
|
|
- $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
|
|
- Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$
|
|
|
|
*Linear unabhänige:*
|
|
Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$
|
|
|
|
*Basisergänzungssatz:* \
|
|
Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
|
|
|
|
*Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
|
|
- $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
|
|
#subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
|
|
|
|
$f(x)=y, f: A -> B$
|
|
|
|
*Injectiv (Monomorphismus):*\
|
|
_one to one_ \
|
|
$f(x) = f(y) <=> x = y$
|
|
|
|
*Surjectiv (Epimorhismis):* \
|
|
_Output space coverered_ \
|
|
- Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
|
|
- $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$
|
|
NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$
|
|
|
|
*Bijektiv (Isomorphismus):* \
|
|
_Injectiv und Surjectiv_ \
|
|
- In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
|
|
- isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$
|
|
|
|
Beweiß durch Wiederspruch \
|
|
für Gegenbeweiß
|
|
|
|
*Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$
|
|
|
|
*Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
|
|
|
|
*Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
|
|
]
|
|
|
|
// Spann und Bild, Kern
|
|
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
|
|
#subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
|
|
*Spann:*
|
|
- Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
|
|
- $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
|
|
- $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
|
|
|
|
*Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$
|
|
|
|
*Bild:* Wertemenge $WW$
|
|
- $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
|
|
- Basis $B : op("spann")(B)$
|
|
- $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
|
|
|
|
*Nullraum/Kern:* \
|
|
$op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$
|
|
|
|
*Rang*
|
|
$op("Rang") f := dim op("Bild") f$
|
|
|
|
*Dimensionssatz:* Sei $A$ lineare Abbildung \
|
|
$dim(V) = dim(kern(A)) + dim(Bild(A))$ \
|
|
$dim(V) = dim(kern(A)) + Rang(A)$ \
|
|
|
|
$dim(V) = dim(Bild(A)) "oder" dim(kern(A)) = 0 \ <=> A "bijektiv" <=> "invertierbar"$
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
|
|
#subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform]
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorVR)[
|
|
#subHeading(fill: colorVR)[Eukldische Vektorräume]
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorVR)[
|
|
#subHeading(fill: colorVR)[Unitair Vektorräume ]
|
|
]
|
|
|
|
|
|
// Matrix Typem
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
|
|
#let colred(x) = text(fill: red, $#x$)
|
|
#let colblue(x) = text(fill: blue, $#x$)
|
|
|
|
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
|
|
#align(center, scale($colred(m "Zeilen") colblue(n "Splate")\ A in KK^(colred(m) times colblue(n))$, 120%)) #grid(columns: (1fr, 1fr),
|
|
$quad mat(
|
|
a_11, a_12, ..., a_(1n);
|
|
a_21, a_22, ..., a_(2n);
|
|
dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
|
|
a_(m 1), a_(m 2), ..., a_(m n)
|
|
)
|
|
$,
|
|
|
|
cetz.canvas({
|
|
import cetz.draw : *
|
|
|
|
rect((0, 0), (1, 1), fill: rgb("#9292926b"))
|
|
|
|
set-style(mark: (end: (symbol: "straight")))
|
|
line((0, -0.2), (1, -0.2), stroke: (paint: blue, thickness: 0.3mm))
|
|
line((-0.2, 1), (-0.2, 0), stroke: (paint: red, thickness: 0.3mm))
|
|
|
|
content((-0.45, 0.5), $colred(bold(m))$)
|
|
content((0.5, -0.35), $colblue(bold(n))$)
|
|
content((0.5, 0.5), $A$)
|
|
})
|
|
)
|
|
|
|
#table(
|
|
columns: (auto, 1fr),
|
|
inset: 2mm,
|
|
fill: (x, y) => if (calc.rem(y, 2) == 0) { tableFillLow } else { tableFillHigh },
|
|
[*Einheits Matrix*\ $I,E$], [],
|
|
[*Diagonalmatrix* \ $Sigma,D$], [
|
|
Nur Einträger auf Hauptdiagonalen \
|
|
$det(D) = d_00 dot d_11 dot d_22 dot ...$
|
|
],
|
|
[*Symetrisch*\ $S$], [
|
|
$S = S^T$, $S in KK^(n times n)$\
|
|
$A A^T$, $A^T A$ ist symetrisch \
|
|
$S$ immer diagonaliserbar \
|
|
EW immer $in RR$, EV orthogonal
|
|
],
|
|
[*Invertierbar*], [
|
|
$exists A^(-1) : A A^(-1) = A^(-1) A = E$ \
|
|
|
|
*Invertierbar wenn:* \
|
|
$A$ bijektiv, $det(A) = 0$ \
|
|
$"Spalten Vekoren lin. unabhänig"$ \
|
|
$det(A) = 0$ \
|
|
|
|
*Nicht Invertierbar wenn:*\
|
|
$exists$ EW $!= 0 => not "invertierbar"$
|
|
Keine Qudratische Matrix
|
|
],
|
|
[*Orthogonal*\ $O$], [
|
|
$O^T = O^(-1)$ \
|
|
$ip(O v, O w) = ip(v, w)$
|
|
],
|
|
[*Unitair*], [
|
|
$V^* )$
|
|
],
|
|
[*Diagonaliserbar*], [
|
|
$exists A = B D B^(-1)$, $D$ diagonal,
|
|
|
|
$B$: Splaten sind EV von $A$
|
|
|
|
- Selbst-Adujunkte diagonalisierbar
|
|
- Symetrisch Matrix
|
|
- $A in KK^(n times n) "AND" alg(lambda) = geo(lambda)$
|
|
],
|
|
[*postiv-semi-definit*], [
|
|
$forall$ EW $>= 0$
|
|
],
|
|
)
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
|
|
|
|
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Eigenwert und Eigenvektoren ]
|
|
|
|
$A in CC^(n times n):$ $n$ Complexe Eigenwerte \
|
|
$A in RR^(n times n)$
|
|
|
|
*1. Eigentwete bestimmen*
|
|
|
|
$A v = lambda v => det(A-E lambda) = 0$
|
|
|
|
$0 = det mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_1$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
|
|
x_21, #mannot.markhl($x_22 - lambda_2$, color: red), ..., x_(2n);
|
|
dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
|
|
x_(n 1), x_(n 2), ..., #mannot.markhl($x_(n n) -lambda_n$, color: red)
|
|
)$
|
|
|
|
$--> chi_A = (lambda_0 - lambda)^(n_0) dot (lambda_1 - lambda)^(n_1) ... $
|
|
|
|
|
|
$lambda_0, lambda_1, ... = $ Nst von $chi_A$
|
|
|
|
|
|
*2. Eigenvektor bestimmen*
|
|
|
|
$Eig(lambda_k) = kern(A - lambda_k E)$
|
|
|
|
$mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_k$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
|
|
x_21, #mannot.markhl($x_22 - lambda_k$, color: red), ..., x_(2n);
|
|
dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
|
|
x_(n 1), x_(n 2), ..., #mannot.markhl($x_(n n) -lambda_k$, color: red)
|
|
) vec(v_1, v_2, dots.v, v_n) = vec(0, 0, dots.v, 0)$
|
|
|
|
|
|
|
|
*Algebrasche Vielfacheit:* $alg(lambda) = n_0 + n_1 + ...$ \
|
|
*Geometrische Vielfacheit:* $geo(lambda) = dim("Eig"_A (lambda))$ \
|
|
|
|
$1 <= geo(lambda) <= alg(lambda)$
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB]
|
|
|
|
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Diagonalisierung]
|
|
$A = R D R^(-1)$
|
|
|
|
*Rezept Diagonalisierung*
|
|
|
|
1. EW bestimmen: $det(A - lambda I) = 0$ \
|
|
$=> chi_A = (lambda_1 - lambda)^(m 1) (lambda_2 - lambda)^(m 2) ...$
|
|
2. EV bestimmen: $spann(kern(A - lambda_i I))$: $r_0, r_1, ...$
|
|
3. \
|
|
#grid(columns: (1fr, 1fr),
|
|
[
|
|
Diagnoalmatrix: $D$
|
|
$mat(
|
|
lambda_1, 0, 0,...;
|
|
0, lambda_1, 0, ...;
|
|
0, 0, lambda_2, ...;
|
|
dots.v, dots.v, dots.v, dots.down
|
|
)
|
|
$
|
|
],
|
|
[
|
|
Basiswechselmatrix: $R$
|
|
$mat(
|
|
|, | , ..., |;
|
|
r_0, r_1, ..., r_n;
|
|
|, |, ..., |
|
|
)$
|
|
]
|
|
)
|
|
]
|
|
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Schur-Zerlegung]
|
|
immer anwendbar;
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[SVD]
|
|
|
|
$A in RR^(m times n)$ zerlegbar in $A = L S R^T$ \
|
|
|
|
|
|
$L in RR^(m times m)$ Orthogonal \
|
|
$S in RR^(m times n)$ Diagonal \
|
|
$R in RR^(n times n)$ Orthogonal
|
|
|
|
|
|
1. $A A^T$ berechnen $A A^T in RR^(m times m)$
|
|
|
|
2. $A A^T$ diagonalisieren in $R$, $D$
|
|
|
|
3. Singulärwere berechen: $sigma_i = sqrt(lambda_i) $
|
|
|
|
4. $l_i = 1/sigma_i A v_(lambda i) quad quad L = mat( |, |, ..., |; l_0, l_1, ..., l_m; |, |, ..., |)$ \
|
|
(Evt. zu ONB ergenze mit Gram-Schmit/Kreuzprodukt)
|
|
|
|
5. $S in RR^(n times m)$ (wie $A$): \
|
|
$S = mat(sigma_0, 0; 0, sigma_1; dots.v, dots.v; 0, 0) quad quad quad S = mat(sigma_0, 0, dots, 0; 0, sigma_1, ..., 0)$
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen]
|
|
|
|
$|| dot ||_M$ Matrix Norm, $|| dot ||_V$ Vektornorm
|
|
|
|
Generisch Vektor Norm: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$
|
|
|
|
- submultiplikativ: $||A B||_"M" <= ||A||||B||$
|
|
- verträglich mit einer Vektornorm: $||A v||_"V" <= ||A||_"M" ||v||_"V"$
|
|
|
|
*Frobenius-Norm* $||A||_"M" = sqrt(sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n a_(m n)^2)$
|
|
|
|
*Induzierte Norm* $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V)$\
|
|
$ = sup_(||v|| = 1) (||A v||_V)/(||v||_V)$
|
|
- submultiplikativ
|
|
- verträglich mit einer Vektornorm $||dot||_V$
|
|
|
|
*maximale Spaltensumme* $||A||_r = max_(1<= i <= n) sum_(j=1)^n |a_(j)|$
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrix)[Rekursive Folgen]
|
|
|
|
E.g: $a_1 x_(n-1) + a_2 x_(n) = x_(n+1)$
|
|
|
|
1. Als Matrix Schreiben $F: vec(x_(n-1), x_(n)) = vec(x_n, x_(n+1))$ \
|
|
$F s_(n-1) = s_(n)$
|
|
|
|
2. Diagonaliseren: $F = R D R^(-1) $ \
|
|
3. Wiederholte Anwendung: $F^n = R D^n R^(-1)$
|
|
|
|
]
|
|
|
|
#bgBlock(fill: colorMatrix)[
|
|
#subHeading(fill: colorMatrix)[Differenzialgleichungen]
|
|
]
|
|
]
|
|
|