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#import "@preview/cetz:0.4.2"

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#show: stdTemplate
#flexwrap( // Trigonometric formulas
  main-spacing: 1mm,
  cross-spacing: 1mm,
  stdBlock([
    == #hlHeading([Trig Identitäten])
    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \

    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$

    #grid(
      gutter: 5mm,
      columns: (auto, auto),
      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
    )

    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
    
    #grid(
      gutter: 5mm,
      columns: (auto, auto),
      [$cos(-x) = cos(x)$],
      [$sin(-x) = -sin(x)$],
    )

    Subsitution mit Hilfsvariable

    #grid(
      gutter: 5mm,
      row-gutter: 3mm,
      columns: (auto, auto),
      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],
    )
    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$

    Für $x in [-1, 1]$ \
    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
  ]),
  sinTable,
  stdBlock([
    #grid(
      columns:(auto, auto), 
      gutter: 1mm,
      [
        == #hlHeading([Folgen])
        $ lim_(x->infinity) a_n $
        - *Beschränkt*: $exists k in RR$ so dass $abs(a_n) <= k$
          - $epsilon$-Interval: $x in (a - epsilon, a + epsilon) <=> abs(x - a) < epsilon$
          - *Beweiß:* Induktion/Ungleichung
          - Hat min. eine konvergent Teilfolge
        - *Konvergent*:
          - Es gibt $forall epsilon > 0$ eine Index $n_epsilon in NN$ sodass \ $abs(a_n - a) < epsilon space forall n > n_epsilon$
          - Divergent $-> infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n > k$
          - Divergent $-> -infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n < k$
          - Genzwert is eindeutig
        - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$
          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $
        - *Konvergenz $a_n -> a$ $<=>$ beschränkt UND monoton*
          - $<=>$ Alle Teilefolgen konvergent zu $a$
          - Wenn Häufungspunk $eq.not$ $=>$ divergent
          - Sandwitch-Theorem

        === Kriterien
        $not$ Kriterium $=>$ $not$ Konvergenz *ABER*\ Kriterium $arrow.r.double.not$ Konvergenz
        - Canchy-Kriterium: $forall space epsilon > 0 space exists space n,m > n_epsilon $ \ sodass $(a_n - a_m) < epsilon$
      ], 
      grid.vline(stroke: 0.1mm + black, position: start),
      pad([
        === Grenzwert Finden:
        - "Bottom up" von Bekannten Ausdrücken
        - Fixpunk Gleösenichung l $a = f(a)$  für $f(a_n)$
        - Bernoulli-Ungleichung für $(a_n)^n$ \
          $(1 + a)^n >= 1 + n a$ für $a >= -1$
          
        Für Konvergent Folgen:
        #grid(
          columns: (auto, auto),
          align: bottom,
          gutter: 2mm,
          [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
          grid.cell(
            rowspan:  2,
            [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $],
          ),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
        )

        == Spezifische Folgen
        #grid(
          columns: (auto, auto, auto),
          column-gutter: 4mm,
          row-gutter: 2mm,
          align: bottom,
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
          MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
        )
      ], left: 1mm)
    )



  ]), 
  stdBlock([
    == #hlHeading([Reihen])
    === Spezifische Reihen
    #grid(columns: (auto, auto), column-gutter: 4mm, row-gutter: 2mm,
      [
        Geometrische Reihe:
        $ sum_(n=0)^infinity $
        - $ a_(n+q) = q a_n $
        - Beschränkt: $abs(q) <= 1$
        - Unbeschränkt: $abs(q) > 1$
      ],
      [
        Harmonische Reihe:
        $ sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity $
      ]
    )
  ]),
)