#import "@preview/mannot:0.3.1" #import "../lib/common_rewrite.typ" : * #import "../lib/mathExpressions.typ" : * #set text(7.5pt) #set page( paper: "a4", margin: ( bottom: 10mm, top: 5mm, left: 5mm, right: 5mm ), flipped:true, footer: context [ #grid( align: center, columns: (1fr, 1fr, 1fr), [#align(left, datetime.today().display("[day].[month].[year]"))], [#align(center, counter(page).display("- 1 -"))], [#align(right, image("../images/cc0.png", height: 5mm,))] ) ], ) #place(top+center, scope: "parent", float: true, heading( [Analysis 1 (IE)] )) #let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm)) #let MathAlignLeft(e) = { align(left, block(e)) } #let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%) #let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%) #let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%) #let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%) #let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%) #columns(5, gutter: 2mm)[ // Allgemeiner Shit #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins] #grid( columns: (1fr, 1fr), inset: 0mm, gutter: 2mm, [ *Dreiecksungleichung* \ $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \ $abs(abs(x) - abs(y)) <= abs(x - y)$ \ ], [ *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\ $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \ ], [ *Geometrische Summenformel*\ $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \ ], [ *Bernoulli-Ungleichung* \ $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \ ], [ *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$ ], [ *Binomische Formel*\ $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \ ], [ *Bekannte Werte* \ $e approx 2.71828$ ($2 < e < 3$) \ $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$) ], [ *Gaußklammer*: \ $floor(x) = text("floor")(x)$ \ $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \ ], [ *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \ ], [ *Mitternachtsformel* $x_(1,2) = (-b plus.minus sqrt(b^2 + 4a c))/(2a)$ ], [ *Binomische Formel*\ $(a + b)^2 = a^2 + 2a b + b^2$\ $(a - b)^2 = a^2 - 2a b + b^2$\ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$\ ] ) ] // Complex Zahlen #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ #subHeading(fill: colorAllgemein)[Complexe Zahlen] #ComplexNumbersSection() #grid( columns: (1fr, 1fr), row-gutter: 2mm, [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $], [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $], grid.cell( colspan: 1, align: center, $ tan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $ ), grid.cell( colspan: 1, align: center, $ arctan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $ ) ) #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie] *Additionstheorem* \ $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \ $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \ $tan(x +y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \ $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \ $arctan(1/x) + arctan(x) = cases( x > 0 : pi/2, x < 0 : -pi/2 )$ *Doppelwinkel Formel* \ $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \ $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ #grid( gutter: 2mm, columns: (auto, auto, auto), $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$, $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$, $cos(-x) = cos(x)$, $sin(-x) = -sin(x)$, grid.cell(colspan: 2, $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$) ) Subsitution mit Hilfsvariable #grid( gutter: 5mm, row-gutter: 3mm, columns: (auto, auto), [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$], [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$], [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$], [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$], [$cos(x - pi/2) = sin(x)$], [$sin(x + pi/2) = cos(x)$], ) $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$ Für $x in [-1, 1]$ \ $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \ $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$ ] // Folgen Allgemein #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen] *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$ - Beweiße: durch Induktion - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$) *Monoton fallend/steigended* - Beweise: Induktion #grid(columns: (1fr, 1fr), inset: 0.2mm, align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]), [$ a_(n+1) <= a_(n), quad a_(n+1) >= a_(n) $], [$ a_(n+1)/a_(n) < 1, quad a_(n+1)/a_(n) > 1 $], ) *Konvergentz Allgemein* $lim_(n -> infinity) a_n = a$ $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \ - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $ - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $ - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $ $space forall n > n_epsilon$ *Konvergentz Häufungspunkte* - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$ *Folgen in $CC$* (Alle Regeln von $RR$ gelten)\ - $z_n in CC : lim z_n <=> lim abs(z_n) = 0$ - Zerlegen in $a + b i$ oder $abs(z) dot e^(i phi)$ ] // Folgen Strat #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen Konvergenz Strategien] - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen - *Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz* - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \ für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!) - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \ $(1 + a)^n >= 1 + n a$ - Sandwitchtheorem:\ $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \ - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \ (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$) - (Cauchyfolge \ $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \ $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \ Cauchyfolge $=>$ Konvergenz) *Divergenz* - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz - Vergleichskriterium: \ $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \ $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$ ] // L'Hospital #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital] $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$ (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$) Bendingungen: 1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$ 2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$ 3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ konveriert $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$ Kann auch Reksuive angewendet werden! Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$ ] // Bekannte Folgen #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen] #grid( columns: (auto, auto), align: bottom, gutter: 2mm, [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $], grid.cell( rowspan: 2, [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)], ), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $), ) #grid( columns: (auto, auto), column-gutter: 4mm, row-gutter: 2mm, align: bottom, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $), MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $), MathAlignLeft($ e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $), grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = cases( 0 &abs(q), 1 &q = 1, plus.minus infinity &q < -1, plus infinity #h(5mm) &q > 1 ) $)), [] ) ] // Teilfolgen #bgBlock(fill: colorFolgen)[ #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen] $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $ - Index muss streng monoton steigen! - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$ - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent ] // Reihen #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen] $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \ - *Absolute Konvergenz* \ $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent - *Partialsummen* \ ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\ $=>$ _Absolute Konvergent_ - *(Cauchy-Kriterium)*\ konvergent wenn $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ \ sodass $abs(s_n - s_m) = abs(limits(sum)_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \ $forall n_epsilon < m < n $ - *Leibnitzkriterium* \ Alternierend + Nullfolge \ $=> limits(sum)_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent - *Vergleichskriterium* \ $a_n, b_n : abs(a_n) <= b_n space forall n in NN > N_0, N_0 in NN$ 1. $limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \ Suche $b_n$ für Konvergenz 2. $limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ divergent \ Suche $abs(a_n)$ für Divergenz Nützlich: - Dreiecksungleichung - $forall space n > N_0 in NN space exists k,q in RR$ \ sodass $q > 1$: $n^k <= q^n$ (Potenz stärker Polynom) - *Quotientenkriterium und Wurzelkriterium* 1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $ 2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \ divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$ *Reihen in $CC$* - Alles ] // Potenzreihen #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen] $P(z) = sum_(n=0)^infinity a_n dot (z- z_0)^n quad z,z_0 in CC$ #grid( columns: (auto, auto), column-gutter: 5mm, row-gutter: 1.5mm, [*Konvergenzradius*], [$|z - z_0| < R : $ absolute Konvergenz], [], [$|z - z_0| = R : $ Keine Aussage], [], [$|z - z_0| > R : $ Divergent] ) #grid( columns: (1fr, 1fr), $R = lim_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(lim_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$, $R = limits(liminf)_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(limits(limsup)_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$ ) ] // Bekannte Reihen #bgBlock(fill: colorReihen)[ #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen] *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$ - konvergent $abs(q) < 1$, divergent $abs(q) >= 1$ - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$ *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$ *Binomische Reihe:* *Reihendarstellungen* #grid( columns: (1fr, 1fr), gutter: 3mm, row-gutter: 3mm, $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$, $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$, $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!)$, $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n (z^(2n))/((2n)!)$ ) ] // Ableitung #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen] $f(x) = y, f : A -> B$ *Injectiv (Monomorphismus):* one to one\ $f(x) = f(y) <=> x = y quad$ *Surjectiv (Epimorhismis):* Output space coverered \ - $forall x in B : exists x in A : f(x) = y$ *Bijektiv* injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar ] // Funktions Sätze #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze] $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig $f(x)$ stetig diff'bar $=> f(x)$ diff'bar, stetig UND $f'(x)$ stetig #line(length: 100%, stroke: 0.3mm) Sei $f : I =[a,b] -> RR$, stetig auf $x in I$ - *Zwischenwertsatz* \ $=> forall y in ["min", "max"] space exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \ _Beweiß für mindest. n Nst_ - *Mittelwertsatz der Diff'rechnung* \ diff'bar $x in (a,b)$ \ $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$ - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\ $g -> RR "integrierbar," g(x)>= 0 forall x in [a,b]$\ $exists xi in [a,b] : integral_a^b f(x)g(x) d x = f(xi) integral_a^b g(x) d x$ - *Satze von Rolle* \ diffbar $x in (a,b)$\ $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$\ _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_ - *Hauptsatz der Integralrechung* Sei $f: [a,b] -> RR$ stetig $F(x) = integral_a^x f(t) d t, x in [a,b]$\ $=> F'(x) = f(x) forall x in [a,b]$ ] // Stetigkeit #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit] *Allgemein* $f(x)$ ist stetig wenn: \ $ limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0) $ \ $x in DD$ Beachten! Definitionslücken $!=$ unstätig \ Definition gilt auch für $I subset RR$ *Regeln* $f(x),g(x)$ seinen stetig dann sind auch Stetig: #grid(columns: (auto, auto, auto, auto, auto), column-gutter: 4mm, row-gutter: 2mm, $f(x) + g(x)$, $f circle.small g$, $alpha dot f(x)$, $f(x)/g(x)$, $f(x) dot g(x)$ ) *Bekannte Funktion* #table( columns: (1fr, 1fr), table.header( [*Stetig*], [*Nicht Stetig*] ), stroke: (x, y) => (x: 0mm, y: 0.2mm), [ - Polynome, gebrochen Rationale Fn - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR without ZZ$ - Betrags Funktion - $sin, cos, tan$ ], [ - Stufenfunktion - Fall Unterscheidungen - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR$ ] ) ] // Ableitung #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung] *Differenzierbarkeit* - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \ #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $) - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ - Beste #underline([linear]) Annäherung - Tangente $t(x)$ von $f(x)$ an der Stelle $x_0$: $ lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) -f'(x_0) =0 $ *Ableitung Regeln* #grid( row-gutter: 3mm, columns: (1fr, 1fr), grid.cell( colspan: 2, [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $] ), grid.cell( colspan: 2, [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $] ), grid.cell( colspan: 2, [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)] ), [$f(x) = c : f'(x) = 0$], [$c dot f(x) : c dot f'(x)$], [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$], [$e^(x) : e^(x)$], ) - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$ ], // Ableitungstabelle #block([ #set text(size: 7pt) #table( align: horizon, columns: (auto, auto, auto), table.header([*$F(x)$*], [*$f(x)$*], [*$f'(x)$*]), row-gutter: 1mm, inset: 1.4mm, fill: (x, y) => if calc.rem(x, 3) == 0 { color.hsl(180deg, 89.47%, 88.82%) } else if calc.rem(x, 3) == 1 { color.hsl(180deg, 100%, 93.14%) } else { color.hsl(180deg, 81.82%, 95.69%) }, [$1/(q + x) x^(q+1)$], [$x^q$], [$q x^(q-1)$], [$ln abs(x)$], [$1/x$], [$-1/x^2$], [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$a / x$], [$2/3 sqrt(a x^3)$], [$sqrt(a x)$], [$a/(2 sqrt(a x))$], [$e^x$], [$e^x$], [$e^x$], [$a^x/ln(a)$], [$a^x$], [$a^x ln(a)$], $-cos(x)$, $sin(x)$, $cos(x)$, $sin(x)$, $cos(x)$, $-sin(x)$, $-ln abs(cos(x))$, $tan(x)$, $1/(cos(x)^2)$, $ln abs(sin(x))$, $cot(x)$, $-1/(sin(x)^2)$, [$x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)$], [$arcsin(x)$], [$1/sqrt(1 - x^2)$], [$x arccos(x) - sqrt(1 - x^2)$], [$arccos(x)$], [$-1/sqrt(1 - x^2)$], [$x arctan(x) - 1/2 ln abs(1 + x^2)$], [$arctan(x)$], [$1/(1 + x^2)$], [$x op("arccot")(x) + 1/2 ln abs(1 + x^2)$], [$op("arccot")(x)$], [$-1/(1 + x^2)$], [$x op("arsinH")(x) + sqrt(1 + x^2)$], [$op("arsinH")(x)$], [$1/sqrt(1 + x^2)$], [$x op("arcosH")(x) + sqrt(1 + x^2)$], [$op("arcosH")(x)$], [$1/sqrt(x^2-1)$], [$x op("artanH")(x) + 1/2 ln(1 - x^2)$], [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$], ) ]) // Extremstellen, Krümmung, Monotonie #bgBlock(fill: colorAbleitung)[ #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie] *Monotonie* $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) <= f(x_1)$ Hinreichende: $f'(x) >= 0$ \ Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ *Streng Monoton* $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) < f(x_1)$ \ Notwendig: $f'(x) >= 0$ (Aber nicht hinreichend) *Extremstellen Kandiaten* 1. $f'(x) = 0$ 2. Definitionslücken 3. Randstellen von $DD$ #grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 2mm, [ *Minima*\ $x_0,x in I : f(x_0) < f(x)$ \ $f''(x) > 0 $ \ $f'(x) : - space 0 space +$ ], [ *Maxima*\ $x_0,x in I : f(x_0) > f(x)$ \ $f''(x) < 0$ \ $f'(x) : + space 0 space -$ ], [ *Wendepunkt*\ $f''(x) = 0$ \ $f'(x) : plus.minus space ? space plus.minus$ ], [ *Stattelpunkt/Terrasenpunkt* \ $f'''(x) != 0$ $f''(x) = 0$ UND $f'(x) = 0$ \ $f'(x) : plus.minus space 0 space plus.minus$ \ ], [ *Extremstelle* \ $f'(x) = 0$ ] ) #grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 2mm, [ *konkav* $f''(x) <= 0$ \ rechtsgekrümmt \ Sekante liegt unter $f(x)$ \ (eingebäult, von $y= -infinity$ aus) ], [ *konvex* $f''(x) >= 0$ \ linksgekrümmt \ Sekante liegt über $f(x)$ \ (ausgebaucht, von $y= -infinity$ aus) ] ) *Strange Konkav/Konvex* \ Notwendig $f''(x) lt.gt 0$ ] // Integral #bgBlock(fill: colorIntegral, [ #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral]) Wenn $f(x)$ stetig und monoton $=>$ integrierbar Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$ Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$ *Ungleichung:* \ $f(x) <= q(x) forall x in [a,b] => integral_a^b f(x) d x <= integral_a^b g(x) d x$ \ $abs(integral_a^b f(x) d x) <= integral_a^b abs(f(x)) d x$ *Partial Integration* $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$ $integral_a^b u(x) dot v'(x) d x = [u(x)v(x)]_a^b - integral_a^b u'(x) dot v(x)$ *Subsitution* $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$ 1. Ersetzung: $t := g(x)$ 2. Umformen: $(d y)/(d x) = g'(x)$ 3. $x$-kürzen sich weg ]) #bgBlock(fill: colorIntegral, [ #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral]) *Riemann Integral*\ $limits(sum)_(x=a)^(b) f(i)(x_())$ Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$ Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$ *Integral Type*\ - Eigentliches Int.: $integral_a^b f(x) d x$ - Uneigentliches Int.: \ $limits(lim)_(epsilon -> 0) integral_a^(b + epsilon) f(x) d x$ \ $limits(lim)_(epsilon -> plus.minus infinity) integral_a^(epsilon) f(x) d x$ - Unbestimmtes Int.: $integral f(x) d x = F(x) + c, c in RR$- Uneigentliches Int.: *Cauchy-Hauptwert* $integral_(-infinity)^(+infinity) f(x)$ \ NUR konvergent wenn: \ $limits(lim)_(R -> -infinity) integral_(R)^(a) f(x) d x$ und $limits(lim)_(R -> infinity) integral_(a)^(R) f(x) d x$ konvergent für $a in RR$ $integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ existiert \ $=> lim_(M -> infinity) integral_(-M)^(M) f(x) d x = integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ *Partial Integration* $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$ *Subsitution* $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d x$ 1. Ersetzung: $ d x := d t dot g'(x)$ und $t := g(x)$ 2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$ 3. $x$-kürzen sich weg *Absolute "Konvergenz"* \ Wenn $g(x)$ konvergent, $abs(f(x)) <= g(x) => $ $f(x)$ konvergent ]) #bgBlock(fill: colorIntegral, [ #subHeading(fill: colorIntegral)[Partial-Bruch-Zerlegung] Form: $integral "Zähler Polynom"/"Nenner Polynom"$, $deg("Nenner") < deg("Zähler")$ 1. $deg("Zähler") >= deg("Nenner") ->$ *Polynomdivision* 2. *Faktorisieren des Nenners (Nst finden)*, \ Polynomdivision, Raten, Binomische Formel \ Resulat: $N = (x - x_0)^(n_0+)(x - x_1)^(n_1)... (x^2+b x + c)^(m_1)$ 3. *Ansatz:* $A$\ $(x-x_0)^n -> A/((x - x_0)^n) + B/((x - x_0)^(n-1)) ... + C/(x - x_0)$\ $(x^2 + b x + c)^n -> (A x + B)/((x^2 + b x + c)^n) ... + (C x + D)/((x^2 + b x + c)^1) $ 4. *Durchmul.* $"Ansatz" dot 1/("Fakt. Nenner") = "Zähler"$ 5. $A,B,...$ : Nst einsetzen, dann Koeffizientenvergleich 6. *Intergral wiederzusammen setzen $+c$* 7. Summen teile Integrieren $delta = 4a - b^2$ #grid(columns: (auto, auto), row-gutter: 2mm, column-gutter: 2mm, $integral 1/(x - x_0)$, $ln abs(x - x_0)$, $integral 1/((x - x_0)^n)$, $-1/((n-1)(x-x_0)^(n-1))$, $integral 1/(x^2 + b x + c)$, $2/sqrt(delta) arctan((2x + b)/sqrt(delta))$, $integral 1/((x^2 + b x + c)^n)$, $(2x + b)/((n-1)(sigma)(x^2+b x +c)^(n-1)) + \ (2(2n-3))/((n-1)(delta)) + (C ) $, ) ]) #bgBlock(fill: colorAllgemein, [ #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table]) #sinTable ]) #bgBlock(fill: colorAllgemein, [ #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notwending und Hinreiched] #grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 2mm, inset: (left: 2mm, right: 2mm), $not "not." => not "Satz"$, $"hin." => "Satz"$, $"Satz" => forall "not." $, $not "Satz" => forall not "hin." $, $"not." arrow.r.double.not "Satz"$, $not "hin." arrow.r.double.not "Satz"$, ) ]) ]