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  [Linear Algebra EI]
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#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
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#let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)


#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
#let MathAlignLeft(e) = {
  align(left, block(e))
}
#columns(4, gutter: 2mm)[
    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation]
        

    ]

    #bgBlock(fill: colorGruppen)[
         #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]

        *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
        - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
        *Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
        - Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
        *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
        - Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$

        #SeperatorLine

        *Gruppe:* Monoid mit
        - Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$
        - Eindeutig Lösung für Gleichungen 
        Zusatz:
        - Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
        *Untergruppe:*
        - Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
        - $a,b in U <=> a dot b in U$
        - $a in U <=> a^(-1) in U$
        - $e in U$ (Neutrales Element)

        *Direktes Produkt:*\
        $(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \
        $(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$


        #SeperatorLine

        *Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit:
        - $(R, +)$ kommutativ Gruppe
        - $(R, dot)$ Halbgruppe
        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)

        #colbreak()

        *Körper:* Menge $K$ mit:
        - $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
            ($0$ ist Neutrales Element von $+$)
        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
        _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
    ]

    #bgBlock(fill: colorReihen)[
        #subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)]
        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
        - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
        - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
        Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$ 
        - $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
        - $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
            $(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
        - $1v = v$, $arrow(0) in V$
        Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)

        *Untervektorraum:* $U subset V$ \
        $v,w in U, lambda in K$ \
        $ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
        - $(U inter W) subset V$
    ]

    #bgBlock(fill: colorReihen)[
        #subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim]
        *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ 
        - $Phi(0) = 0$
        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
        - Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$

        *Basis:*\
        linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
        - $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
        - Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$

        *Linear unabhänige:*
        Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$

        *Basisergänzungssatz:* \
        Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)

        *Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
        - $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
    ]

    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
        #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
        
        $f(x)=y, f: A -> B$

        *Injectiv (Monomorphismus):*\
        _one to one_ \
        $f(x) = f(y) <=> x = y$

        *Surjectiv (Epimorhismis):* \
        _Output space coverered_ \
        - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
        - $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$
        NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$

        *Bijektiv (Isomorphismus):* \
        _Injectiv und Surjectiv_ \
        - In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
        - isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$

        Beweiß durch Wiederspruch \
        für Gegenbeweiß

        *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$ 

        *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
        
        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
    ]

    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
        *Spann:* 
        - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
        - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
        - $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$

        *Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$

        *Bild:* Wertemenge $WW$ 
        - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
        - Basis $B : op("spann")(B)$
        - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$

        *Nullraum/Kern:* \
        $op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$

        *Rang*
        $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
    ]

]