#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
#import "@preview/mannot:0.3.1"

#set page(
  paper: "a4", 
  margin: (
    bottom: 10mm,
    top: 5mm,
    left: 5mm,
    right: 5mm
  ),
  flipped:true,
  footer: context [
    #grid(
      align: center,
      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
      [#align(left, datetime.today().display("[day].[month].[year]"))], 
      [#align(center, counter(page).display("- 1 -"))], 
      [#align(right, image("../images/cc0.png", height: 5mm,))]
    )
  ],
)

#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
  [Analysis 1 (IE)]
))

#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
#let MathAlignLeft(e) = {
  align(left, block(e))
}

#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)


#columns(4, gutter: 2mm)[
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins]
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      row-gutter: 2mm,
      column-gutter: 3mm,
      [Dreiecksungleichung], [
        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$
      ],
      [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
      ],
      [Geometrische Summenformel], [
        #MathAlignLeft($ limits(sum)_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
      ],
      [Bernoulli-Ungleichung ], [
        $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$
      ],
      [Binomialkoeffizient], [
        $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
      ],
      [Binomische Formel], [
        #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
      ],
      [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],

      [Gausklammer], [
        $floor(x) = text("floor")(x)$ \
        $ceil(x) = text("ceil")(x)$
      ],
      [Bekannte Werte], [
        $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
        $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
      ]
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Complexe Zahlen]
    $z = r dot e^(phi i) = r (cos(phi) + i sin(phi))$

    $z^n = r^n dot e^(phi i dot n) = r^n (cos(n phi) + i sin(n phi))$

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
      [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $],
      [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $]
    )
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie]
    *Additionstheorem* \
    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
    $tan(x) + tan(y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
    $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \

    *Doppelwinkel Formel* \
    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$

    #grid(
      gutter: 5mm,
      columns: (auto, auto),
      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
    )

    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
    git config pull.rebase falsegit config pull.rebase false
    #grid(
      gutter: 5mm,
      columns: (auto, auto),
      [$cos(-x) = cos(x)$],
      [$sin(-x) = -sin(x)$],
    )

    Subsitution mit Hilfsvariable

    #grid(
      gutter: 5mm,
      row-gutter: 3mm,
      columns: (auto, auto),
      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],
    )
    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$

    Für $x in [-1, 1]$ \
    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen]
    $ lim_(x -> infinity) a_n $

    *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
    - Beweiße: durch Induktion
    - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
    - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)

    *Monoton fallend/steigended*
    - Beweise: Induktion
    #grid(columns: (1fr, 1fr),
      gutter: 1mm,
      row-gutter: 2mm,
      align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
      [$ a_(n+1) <= a_(n) $],
      [$ a_(n+1) >= a_(n) $],
      [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
      [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
    )

    *Konvergentz Allgemein*
    $ lim_(n -> infinity) a_n = a $

    $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
    - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
    - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
    - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $

    $space forall n > n_epsilon$

    *Konvergentz Häufungspunkte*
    - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$

    *Konvergenz Beweißen*
    - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
      NICHT Umgekehert
    - (Cauchyfolge \
      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz

    *Konvergent Grenzwert finden*
    - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
    - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
      für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
    - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
      $(1 + a)^n >= 1 + n a$
    - Sandwitchtheorem:\
      $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
    - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
      (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Konvergent Folge Regeln]
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      align: bottom,
      gutter: 2mm,
      [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
      grid.cell(
        rowspan:  2,
        [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
      ),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
    #grid(
      columns: (auto, auto, auto),
      column-gutter: 4mm,
      row-gutter: 2mm,
      align: bottom,
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
      [],
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $),
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)), 
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $),
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = cases(
        0 &abs(q),
        1 &q = 1,
        plus.minus infinity &q < -1,
        plus infinity #h(5mm) &q > 1
      ) $)), []
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen]
    $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
    - Index muss streng monoton steigen!
    - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
    - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
    - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
  ]

  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen]
    $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \

    - *Absolute Konvergenz* \
      $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
    


    - *Partialsummen* \
      ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
      $=>$ _Absolute Konvergent_

    - *(Cauchy-Kriterium)*\
      konvergent wenn $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ \
      sodass $abs(s_n - s_m) = abs(limits(sum)_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
      $forall n_epsilon < m < n $

    - *Leibnitzkriterium* \
      Alternierend + Nullfolge \
      $=> limits(sum)_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent

    - *Vergleichskriterium* \
      $a_n, b_n : abs(a_n) <= b_n space forall n in NN > N_0, N_0 in NN$
      1. $limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
        Suche $b_n$ für Konvergenz
      2. $limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
        Suche $abs(a_n)$ für Divergenz

      Nützlich:
      - Dreiecksungleichung
      - $forall space n > N_0 in NN space exists k,q in RR$ \
        sodass $q > 1$: $n^k <= q^n$ (Potenz stärker Polynom)

    - *Quotientenkriterium und Wurzelkriterium*
      1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
      2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
      
      divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$

    - *Geometrische Reihe* 
      $limits(sum)_(n=0)^infinity q^n$
      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
    - *Harmonische Reihe* $limits(sum)_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$

    - *Reihendarstellungen*
      1. $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
      2. $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
      3. $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
      4. $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $

  ]

  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen]
  ]

  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen]
    *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$
    - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
    - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$

    *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
    
    *Andere*
    - $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
    - $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
  ]

  #colbreak()

  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]
    Sei $f : [a,b] -> RR$, stetig auf $x in [a,b]$
    - *Zwischenwertsatz* \
      $=> forall y in [f(a), f(b)] exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
      _Beweiß für mindest. n Nst_
    - *Satze von Rolle* \
      diffbar $x in (a,b)$\
      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$
      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_

    - *Mittelwertsatz*
      diffbar $x in (a,b)$ \
      $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$

    - *Monotonie* \
      $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \
      $x_0,x_1 in I,  x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \
      (Analog bei (streng ) steigned/fallended)
  ]

  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit]
    *Allgemein*
    
    $f(x)$ ist stetig wenn: \
    $ limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0) $ \
    $x in DD$ Beachten! Definitionslücken $!=$ unstätig \
    Definition gilt auch für $I subset RR$

    *Regeln*

    $f(x),g(x)$ seinen stetig dann sind auch Stetig:

    #grid(columns: (auto, auto, auto, auto, auto),
      column-gutter: 4mm,
      row-gutter: 2mm, 
      $f(x) + g(x)$, $f circle.small g$, $alpha dot f(x)$,
      $f(x)/g(x)$, $f(x) dot g(x)$
    )

    *Bekannte Funktion*
    #table(
      columns: (1fr, 1fr),
      table.header(
        [*Stetig*], [*Nicht Stetig*]
      ),
      stroke: (x, y) => (x: 0mm, y: 0.2mm),
      [
        - Polynome, gebrochen Rationale Fn
        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR without ZZ$
        - Betrags Funktion
        - $sin, cos, tan$
      ],
      [
        - Stufenfunktion
        - Fall Unterscheidungen
        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR$
      ]
    )
  ]

  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung]
    *Differenzierbarkeit*
    - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
      #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
    - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
    - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
      - Beste #underline([linear]) Annäherung
      - Tangente $t(x)$ von $f(x)$ an der Stelle $x_0$: $ lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) -f'(x_0) =0 $

    *Ableitung Regeln*

    #grid(
      row-gutter: 3mm,
      columns: (1fr, 1fr),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
      ),
      [$f(x) = c : f'(x) = 0$],
      [$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
      [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
      [$e^(x) : e^(x)$],
    )
    - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$
  ],

  #block([
    #set text(size: 10pt)
    #table(
      align: horizon, 
      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
      table.header([*$F(x)$*], [*$f(x)$*], [*$f'(x)$*]),
      row-gutter: 1mm,
      fill: (x, y) => if x == 0 { color.hsl(180deg, 89.47%, 88.82%) }
        else if x == 1 { color.hsl(180deg, 100%, 93.14%) } else 
          { color.hsl(180deg, 81.82%, 95.69%) },
      [$1/(q + x) x^(q+1)$], [$x^q$], [$q x^(q-1)$],
      [$ln abs(x)$], [$1/x$], [$-1/x^2$],
      [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$1 / x$],
      [$2/3 sqrt(a x^3)$], [$sqrt(a x)$], [$a/(2 sqrt(a x))$],
      [$e^x$], [$e^x$], [$e^x$],
      [$a^x/ln(a)$], [$a^x$], [$a^x ln(a)$],

      [$x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)$],
      [$arcsin(x)$], [$1/sqrt(1 - x^2)$],

      [$x arccos(x) - sqrt(1 - x^2)$],
      [$arccos(x)$], [$-1/sqrt(1 - x^2)$],

      [$x arctan(x) - 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
      [$arctan(x)$], [$1/(1 + x^2)$],

      [$x op("arccot")(x) + \ 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
      [$op("arccot")(x)$], [$-1/(1 + x^2)$],

      [$x op("arsinH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
      [$op("arsinH")(x)$], [$1/sqrt(1 + x^2)$],

      [$x op("arcosH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
      [$op("arcosH")(x)$], [$1/sqrt(x^2-1)$],

      [$x op("artanH")(x) + \ 1/2 ln(1 - x^2)$],
      [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$],
    )
  ])


  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])

    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$

    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$

    *Partial Integration*
    
    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$

    *Subsitution*

    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
    
    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
    3. $x$-kürzen sich weg
  ])

]

#bgBlock(fill: colorAllgemein, [
  #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table])
  #sinTable
])

#pagebreak()

== Folgen in $CC$

$z_n in C: lim z_n  <=> lim abs(z_n -> infinity) = 0$

Alle folgen regelen gelten

Complexe Folge kann man in Realteil und Imag zerlegen

z.B.

$z_n = z^n z in CC$

$z = abs(z) dot e^(i phi) = abs(z)^n$

== Reihen in $CC$

Fast alles gilt auch.

Bis auf Leibnitzkriterium weil es keine Monotonie gibt

Geometrische Reihe gilt.

Exponential funktion

#MathAlignLeft($ e^z = lim_(n -> infinity) (1 + z/n)^n = sum_(n=0)^infinity (z^n)/(n!) space z in CC $)

Vorsicht: $(b^a)^n = b^(a dot c)$

Potenzreihen: Eine Fn der form:

#MathAlignLeft($ P(z) = sum^(infinity)_(n=0) a_n dot (z - z_0)^n space z, z_0 in CC $)

=== Satz

Konvergenz Radius $R = [0, infinity)$$$

1. $R = 0$ Konvergiet nur bei $z = 0$

2. $R in R : cases(
  z in CC &abs(z - z_0) < R &: "abs Konvergent",
  z in CC &abs(z - z_0) = R &: "keine Ahnung",
  z in CC &abs(z - z_0) > R &: "Divergent"
)$

$ R = limsup_(n -> infinity) $
  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])

    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$

    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$

    *Partial Integration*
    
    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$

    *Subsitution*

    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
    
    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
    3. $x$-kürzen sich weg
  ])