#set page(
  paper: "a4", 
  margin: (
    bottom: 10mm,
    top: 5mm,
    left: 5mm,
    right: 5mm
  ),
  flipped:true,
  numbering: "— 1 —",
  number-align: center
)

#set text(
  size: 8pt,
)

#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
  [Analysis 1 (IE)]
))



#let subHeading(it: content, fill: color) = {
  box(
    align(
      top+center,
      text(
        it,
        size: 10pt,
        weight: "regular",
        style: "italic",
      )
    ),
    fill: fill,
    width: 100%,
    inset: 1mm,
    height: auto
  )
}

#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
#let MathAlignLeft(e) = {
  align(left, block(e))
}

#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)

#columns(5, gutter: 2mm)[
  #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Folgen])
  $ lim_(x -> infinity) a_n $

  *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
  - Beweiße: durch Induktion
  - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
  - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)

  *Monoton fallend/steigended*
  - Beweise: Induktion
  #grid(columns: (1fr, 1fr),
    gutter: 1mm,
    row-gutter: 2mm,
    align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Fallend*]),
    [$ a_(n+1) <= a_(n) $],
    [$ a_(n+1) >= a_(n) $],
    [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
    [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
  )

  *Konvergentz Allgemein*
  $ lim_(n -> infinity) a_n = a $

  $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
  - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
  - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
  - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $

  $space forall n > n_epsilon$

  *Konvergentz Häufungspunkte*
  - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$

  *Konvergenz Beweißen*
  - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
    NICHT Umgekehert
  - (Cauchyfolge \
    $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
    $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
    Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)

  *Konvergent Grenzwert finden*
  - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
  - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
    für $a_(n+1) = f(a_n)$
  - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
    $(1 + a)^n >= 1 + n a$

  #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln])
  #grid(
    columns: (auto, auto),
    align: bottom,
    gutter: 2mm,
    [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
    grid.cell(
      rowspan:  2,
      [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
    ),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
  )

  #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Bekannte Folgen])
  #grid(
    columns: (auto, auto, auto),
    column-gutter: 4mm,
    row-gutter: 2mm,
    align: bottom,
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
    MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
    grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
    grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
    grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
  )


  #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen])

  #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen])

  #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen])
  
  #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung])

  #colbreak()
]