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src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -0,0 +1,546 @@
+#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
+#import "@preview/mannot:0.3.1"
+
+#set page(
+  paper: "a4", 
+  margin: (
+    bottom: 10mm,
+    top: 5mm,
+    left: 5mm,
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+  ),
+  flipped:true,
+  footer: context [
+    #grid(
+      align: center,
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+      [#align(left, datetime.today().display("[day].[month].[year]"))], 
+      [#align(center, counter(page).display("- 1 -"))], 
+      [#align(right, image("../images/cc0.png", height: 5mm,))]
+    )
+  ],
+)
+
+#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
+  [Analysis 1 (IE)]
+))
+
+#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
+#let MathAlignLeft(e) = {
+  align(left, block(e))
+}
+
+#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
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+
+
+#columns(4, gutter: 2mm)[
+  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins]
+    #grid(
+      columns: (auto, auto),
+      row-gutter: 2mm,
+      column-gutter: 3mm,
+      [Dreiecksungleichung], [
+        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
+        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$
+      ],
+      [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
+        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
+      ],
+      [Geometrische Summenformel], [
+        #MathAlignLeft($ limits(sum)_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
+      ],
+      [Bernoulli-Ungleichung ], [
+        $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$
+      ],
+      [Binomialkoeffizient], [
+        $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
+      ],
+      [Binomische Formel], [
+        #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
+      ],
+      [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],
+
+      [Gausklammer], [
+        $floor(x) = text("floor")(x)$ \
+        $ceil(x) = text("ceil")(x)$
+      ],
+      [Bekannte Werte], [
+        $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
+        $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
+      ]
+    )
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Complexe Zahlen]
+    $z = r dot e^(phi i) = r (cos(phi) + i sin(phi))$
+
+    $z^n = r^n dot e^(phi i dot n) = r^n (cos(n phi) + i sin(n phi))$
+
+    #grid(
+      columns: (1fr, 1fr),
+      [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $],
+      [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $]
+    )
+    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie]
+    *Additionstheorem* \
+    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
+    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
+    $tan(x) + tan(y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
+    $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \
+
+    *Doppelwinkel Formel* \
+    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
+    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
+
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
+      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
+    )
+
+    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
+    git config pull.rebase falsegit config pull.rebase false
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$cos(-x) = cos(x)$],
+      [$sin(-x) = -sin(x)$],
+    )
+
+    Subsitution mit Hilfsvariable
+
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      row-gutter: 3mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
+      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
+      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
+      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
+      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
+      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],
+    )
+    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$
+
+    Für $x in [-1, 1]$ \
+    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
+    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen]
+    $ lim_(x -> infinity) a_n $
+
+    *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
+    - Beweiße: durch Induktion
+    - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
+    - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)
+
+    *Monoton fallend/steigended*
+    - Beweise: Induktion
+    #grid(columns: (1fr, 1fr),
+      gutter: 1mm,
+      row-gutter: 2mm,
+      align(top+center, [*Fallend*]), align(top+center, [*Steigend*]),
+      [$ a_(n+1) <= a_(n) $],
+      [$ a_(n+1) >= a_(n) $],
+      [$ a_(n+1)/a_(n) < 1 $],
+      [$ a_(n+1)/a_(n) > 1 $],
+    )
+
+    *Konvergentz Allgemein*
+    $ lim_(n -> infinity) a_n = a $
+
+    $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
+    - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
+    - Divergent $-> infinity$: $a_n in [epsilon, infinity) $
+    - Divergent $-> infinity$: $a_n in (-infinity, epsilon) $
+
+    $space forall n > n_epsilon$
+
+    *Konvergentz Häufungspunkte*
+    - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$
+
+    *Konvergenz Beweißen*
+    - Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz
+      NICHT Umgekehert
+    - (Cauchyfolge \
+      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
+      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
+      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
+    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
+
+    *Konvergent Grenzwert finden*
+    - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
+    - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
+      für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
+    - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
+      $(1 + a)^n >= 1 + n a$
+    - Sandwitchtheorem:\
+      $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
+      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
+      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
+    - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
+      (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Konvergent Folge Regeln]
+    #grid(
+      columns: (auto, auto),
+      align: bottom,
+      gutter: 2mm,
+      [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
+      grid.cell(
+        rowspan:  2,
+        [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
+      ),
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
+    )
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
+    #grid(
+      columns: (auto, auto, auto),
+      column-gutter: 4mm,
+      row-gutter: 2mm,
+      align: bottom,
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
+      [],
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $),
+      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)), 
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $),
+      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = cases(
+        0 &abs(q),
+        1 &q = 1,
+        plus.minus infinity &q < -1,
+        plus infinity #h(5mm) &q > 1
+      ) $)), []
+    )
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen]
+    $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
+    - Index muss streng monoton steigen!
+    - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
+    - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
+    - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorReihen)[
+    #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen]
+    $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \
+
+    - *Absolute Konvergenz* \
+      $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
+    
+
+
+    - *Partialsummen* \
+      ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
+      $=>$ _Absolute Konvergent_
+
+    - *(Cauchy-Kriterium)*\
+      konvergent wenn $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ \
+      sodass $abs(s_n - s_m) = abs(limits(sum)_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
+      $forall n_epsilon < m < n $
+
+    - *Leibnitzkriterium* \
+      Alternierend + Nullfolge \
+      $=> limits(sum)_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent
+
+    - *Vergleichskriterium* \
+      $a_n, b_n : abs(a_n) <= b_n space forall n in NN > N_0, N_0 in NN$
+      1. $limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
+        Suche $b_n$ für Konvergenz
+      2. $limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
+        Suche $abs(a_n)$ für Divergenz
+
+      Nützlich:
+      - Dreiecksungleichung
+      - $forall space n > N_0 in NN space exists k,q in RR$ \
+        sodass $q > 1$: $n^k <= q^n$ (Potenz stärker Polynom)
+
+    - *Quotientenkriterium und Wurzelkriterium*
+      1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
+      2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
+      
+      divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
+
+    - *Geometrische Reihe* 
+      $limits(sum)_(n=0)^infinity q^n$
+      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
+      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
+    - *Harmonische Reihe* $limits(sum)_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
+
+    - *Reihendarstellungen*
+      1. $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
+      2. $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
+      3. $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+      4. $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorReihen)[
+    #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen]
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorReihen)[
+    #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen]
+    *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$
+    - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
+    - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
+
+    *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
+    
+    *Andere*
+    - $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
+    - $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
+  ]
+
+  #colbreak()
+
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]
+    Sei $f : [a,b] -> RR$, stetig auf $x in [a,b]$
+    - *Zwischenwertsatz* \
+      $=> forall y in [f(a), f(b)] exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
+      _Beweiß für mindest. n Nst_
+    - *Satze von Rolle* \
+      diffbar $x in (a,b)$\
+      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$
+      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_
+
+    - *Mittelwertsatz*
+      diffbar $x in (a,b)$ \
+      $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$
+
+    - *Monotonie* \
+      $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \
+      $x_0,x_1 in I,  x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \
+      (Analog bei (streng ) steigned/fallended)
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit]
+    *Allgemein*
+    
+    $f(x)$ ist stetig wenn: \
+    $ limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0) $ \
+    $x in DD$ Beachten! Definitionslücken $!=$ unstätig \
+    Definition gilt auch für $I subset RR$
+
+    *Regeln*
+
+    $f(x),g(x)$ seinen stetig dann sind auch Stetig:
+
+    #grid(columns: (auto, auto, auto, auto, auto),
+      column-gutter: 4mm,
+      row-gutter: 2mm, 
+      $f(x) + g(x)$, $f circle.small g$, $alpha dot f(x)$,
+      $f(x)/g(x)$, $f(x) dot g(x)$
+    )
+
+    *Bekannte Funktion*
+    #table(
+      columns: (1fr, 1fr),
+      table.header(
+        [*Stetig*], [*Nicht Stetig*]
+      ),
+      stroke: (x, y) => (x: 0mm, y: 0.2mm),
+      [
+        - Polynome, gebrochen Rationale Fn
+        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR without ZZ$
+        - Betrags Funktion
+        - $sin, cos, tan$
+      ],
+      [
+        - Stufenfunktion
+        - Fall Unterscheidungen
+        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR$
+      ]
+    )
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
+    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung]
+    *Differenzierbarkeit*
+    - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
+      #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
+    - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
+    - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
+      - Beste #underline([linear]) Annäherung
+      - Tangente $t(x)$ von $f(x)$ an der Stelle $x_0$: $ lim_(x->0) (f(x) - f(x_0))/(x-x_0) -f'(x_0) =0 $
+
+    *Ableitung Regeln*
+
+    #grid(
+      row-gutter: 3mm,
+      columns: (1fr, 1fr),
+      grid.cell(
+        colspan: 2,
+        [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
+      ),
+      grid.cell(
+        colspan: 2,
+        [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
+      ),
+      grid.cell(
+        colspan: 2,
+        [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
+      ),
+      [$f(x) = c : f'(x) = 0$],
+      [$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
+      [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
+      [$e^(x) : e^(x)$],
+    )
+    - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$
+  ],
+
+  #block([
+    #set text(size: 10pt)
+    #table(
+      align: horizon, 
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+      table.header([*$F(x)$*], [*$f(x)$*], [*$f'(x)$*]),
+      row-gutter: 1mm,
+      fill: (x, y) => if x == 0 { color.hsl(180deg, 89.47%, 88.82%) }
+        else if x == 1 { color.hsl(180deg, 100%, 93.14%) } else 
+          { color.hsl(180deg, 81.82%, 95.69%) },
+      [$1/(q + x) x^(q+1)$], [$x^q$], [$q x^(q-1)$],
+      [$ln abs(x)$], [$1/x$], [$-1/x^2$],
+      [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$1 / x$],
+      [$2/3 sqrt(a x^3)$], [$sqrt(a x)$], [$a/(2 sqrt(a x))$],
+      [$e^x$], [$e^x$], [$e^x$],
+      [$a^x/ln(a)$], [$a^x$], [$a^x ln(a)$],
+
+      [$x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)$],
+      [$arcsin(x)$], [$1/sqrt(1 - x^2)$],
+
+      [$x arccos(x) - sqrt(1 - x^2)$],
+      [$arccos(x)$], [$-1/sqrt(1 - x^2)$],
+
+      [$x arctan(x) - 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
+      [$arctan(x)$], [$1/(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arccot")(x) + \ 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
+      [$op("arccot")(x)$], [$-1/(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arsinH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
+      [$op("arsinH")(x)$], [$1/sqrt(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arcosH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
+      [$op("arcosH")(x)$], [$1/sqrt(x^2-1)$],
+
+      [$x op("artanH")(x) + \ 1/2 ln(1 - x^2)$],
+      [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$],
+    )
+  ])
+
+
+  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
+    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
+
+    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$
+
+    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$
+
+    *Partial Integration*
+    
+    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$
+
+    *Subsitution*
+
+    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
+    
+    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
+    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
+    3. $x$-kürzen sich weg
+  ])
+
+]
+
+#bgBlock(fill: colorAllgemein, [
+  #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table])
+  #sinTable
+])
+
+#pagebreak()
+
+== Folgen in $CC$
+
+$z_n in C: lim z_n  <=> lim abs(z_n -> infinity) = 0$
+
+Alle folgen regelen gelten
+
+Complexe Folge kann man in Realteil und Imag zerlegen
+
+z.B.
+
+$z_n = z^n z in CC$
+
+$z = abs(z) dot e^(i phi) = abs(z)^n$
+
+== Reihen in $CC$
+
+Fast alles gilt auch.
+
+Bis auf Leibnitzkriterium weil es keine Monotonie gibt
+
+Geometrische Reihe gilt.
+
+Exponential funktion
+
+#MathAlignLeft($ e^z = lim_(n -> infinity) (1 + z/n)^n = sum_(n=0)^infinity (z^n)/(n!) space z in CC $)
+
+Vorsicht: $(b^a)^n = b^(a dot c)$
+
+Potenzreihen: Eine Fn der form:
+
+#MathAlignLeft($ P(z) = sum^(infinity)_(n=0) a_n dot (z - z_0)^n space z, z_0 in CC $)
+
+=== Satz
+
+Konvergenz Radius $R = [0, infinity)$$$
+
+1. $R = 0$ Konvergiet nur bei $z = 0$
+
+2. $R in R : cases(
+  z in CC &abs(z - z_0) < R &: "abs Konvergent",
+  z in CC &abs(z - z_0) = R &: "keine Ahnung",
+  z in CC &abs(z - z_0) > R &: "Divergent"
+)$
+
+$ R = limsup_(n -> infinity) $
+  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
+    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
+
+    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$
+
+    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$
+
+    *Partial Integration*
+    
+    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$
+
+    *Subsitution*
+
+    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
+    
+    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
+    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
+    3. $x$-kürzen sich weg
+  ])
+

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -0,0 +1,177 @@
+#import "@preview/biceps:0.0.1" : *
+#import "@preview/mannot:0.3.1"
+#import "../lib/styles.typ" : *
+#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
+
+#set page(
+  paper: "a4", 
+  margin: (
+    bottom: 10mm,
+    top: 5mm,
+    left: 5mm,
+    right: 5mm
+  ),
+  flipped:true,
+  numbering: "— 1 —",
+  number-align: center
+)
+
+#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
+  [Linear Algebra EI]
+))
+
+#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
+
+
+#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
+#let MathAlignLeft(e) = {
+  align(left, block(e))
+}
+#columns(4, gutter: 2mm)[
+    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation]
+        
+
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorGruppen)[
+         #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
+
+        *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
+        - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
+        *Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
+        - Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
+        *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
+        - Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$
+
+        #SeperatorLine
+
+        *Gruppe:* Monoid mit
+        - Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$
+        - Eindeutig Lösung für Gleichungen 
+        Zusatz:
+        - Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
+        *Untergruppe:*
+        - Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
+        - $a,b in U <=> a dot b in U$
+        - $a in U <=> a^(-1) in U$
+        - $e in U$ (Neutrales Element)
+
+        *Direktes Produkt:*\
+        $(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \
+        $(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$
+
+
+        #SeperatorLine
+
+        *Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit:
+        - $(R, +)$ kommutativ Gruppe
+        - $(R, dot)$ Halbgruppe
+        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
+
+        #colbreak()
+
+        *Körper:* Menge $K$ mit:
+        - $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \
+            ($0$ ist Neutrales Element von $+$)
+        - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
+        _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorReihen)[
+        #subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)]
+        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
+        - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
+        - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
+        Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$ 
+        - $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
+        - $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
+            $(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
+        - $1v = v$, $arrow(0) in V$
+        Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
+
+        *Untervektorraum:* $U subset V$ \
+        $v,w in U, lambda in K$ \
+        $ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
+        - $(U inter W) subset V$
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorReihen)[
+        #subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim]
+        *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ 
+        - $Phi(0) = 0$
+        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
+        - Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$
+
+        *Basis:*\
+        linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
+        - $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
+        - Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$
+
+        *Linear unabhänige:*
+        Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$
+
+        *Basisergänzungssatz:* \
+        Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
+
+        *Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
+        - $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
+        
+        $f(x)=y, f: A -> B$
+
+        *Injectiv (Monomorphismus):*\
+        _one to one_ \
+        $f(x) = f(y) <=> x = y$
+
+        *Surjectiv (Epimorhismis):* \
+        _Output space coverered_ \
+        - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
+        - $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$
+        NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$
+
+        *Bijektiv (Isomorphismus):* \
+        _Injectiv und Surjectiv_ \
+        - In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
+        - isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$
+
+        Beweiß durch Wiederspruch \
+        für Gegenbeweiß
+
+        *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$ 
+
+        *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
+        
+        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
+        #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
+        *Spann:* 
+        - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
+        - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
+        - $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
+
+        *Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$
+
+        *Bild:* Wertemenge $WW$ 
+        - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$)
+        - Basis $B : op("spann")(B)$
+        - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$
+
+        *Nullraum/Kern:* \
+        $op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$
+
+        *Rang*
+        $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
+    ]
+
+]
+

src/cheatsheets/Schaltungstheorie.typ

@@ -0,0 +1,208 @@
+#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
+#import "@preview/mannot:0.3.1"
+#import "@preview/zap:0.5.0"
+
+#show math.equation.where(block: true): it => math.inline(it)
+
+#set page(
+  paper: "a4", 
+  margin: (
+    bottom: 10mm,
+    top: 5mm,
+    left: 5mm,
+    right: 5mm
+  ),
+  flipped:true,
+  footer: context [
+    #grid(
+      align: center,
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+      [#align(left, datetime.today().display("[day].[month].[year]"))], 
+      [#align(center, counter(page).display("- 1 -"))], 
+      [#align(right, image("../images/cc0.png", height: 5mm,))]
+    )
+  ],
+)
+
+#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorEineTore = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorZweiTore = color.hsl(235.9deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorAnalyseVerfahren = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorComplexAC = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorMathe = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
+
+#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
+  [Schaltungstheorie]
+))
+
+
+#columns(4, gutter: 2mm)[
+  #bgBlock(fill: colorEineTore)[
+    #subHeading(fill: colorEineTore)[Quelle Wandlung]
+
+    #zap.circuit({
+      import zap: *
+      set-style(scale: (x: 0.75, y:0.75), fill: none)
+      resistor("R1", (-2, 0), (0, 0))
+      vsource("V1", (-2, 0), (-2, -2))
+      wire((-2, -2), (0, -2))
+      node("n1", (0, 0), label: "1")
+      node("n2", (0, -2), label: "2")
+    })
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAnalyseVerfahren)[
+    #subHeading(fill: colorAnalyseVerfahren)[Graphen und Matrizen]
+
+    $bold(i_b)$ (oder $bold(i)$): Zweigstrom-Vektor \
+    $bold(u_b)$ (oder $bold(u)$): Zweigspannungs-Vektor \
+    $bold(i_m)$ : Maschenstrom-Vektor \
+      #text(rgb(20%, 20%, 20%))[(Strom in einer viruellen Masche)] \
+    $bold(u_k)$ : Kontenspannungs-Vektor \
+      #text(rgb(20%, 20%, 20%))[(Spannung zwischen Referenzknoten und Knoten k)] \
+
+    #line(length: 100%, stroke: (thickness: 0.2mm))
+
+    Knotenzidenzmatrix $bold(A)$
+
+    $bold(A) : bold(i_k) -> text("Knotenstrombianz") = 0$ \
+    $bold(A^T) : bold(u_b)-> bold(u_k)$
+    $ 
+      bold(A) = quad mannot.mark(mat(
+        a_11, a_12, ..., a_(1m);
+        a_21, a_22, ..., a_(2m);
+        dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
+        a_(n 1), a_(n 2), ..., a_(n m)
+      ), tag: #<1>)
+
+      #mannot.annot(<1>, pos:left, text(rgb("#404296"))[#rotate(-90deg)[$<-$ Knoten]], dx: 5mm)
+      #mannot.annot(<1>, pos:bottom, text(rgb("#404296"))[Zweige $->$], dy: -0.5mm)
+
+      a in {-1, 0, 1}
+    $
+    
+    #line(length: 100%, stroke: (thickness: 0.2mm))
+    
+    Mascheninsidenz Matrix $bold(B)$\
+
+
+    $bold(B) : bold(u_b) -> text("Zweigspannungsbilanz") = 0$ \
+    $bold(B^T) : bold(i_m) -> i_b$
+
+    $ 
+      bold(B) = quad mannot.mark(mat(
+        b_11, b_12, ..., b_(1m);
+        b_21, b_22, ..., b_(2m);
+        dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
+        b_(n 1), b_(n 2), ..., b_(n m)
+      ), tag: #<1>)
+
+      #mannot.annot(<1>, pos:left, text(rgb("#404296"))[#rotate(-90deg)[$<-$ Maschen]], dx: 6mm)
+      #mannot.annot(<1>, pos:bottom, text(rgb("#404296"))[Zweige $->$], dy: -0.5mm)
+
+      b in {-1, 0, 1}
+    $
+
+    #line(length: 100%, stroke: (thickness: 0.2mm))
+
+    *KCL und KVL* \
+
+    KCL in Nullraum: $ bold(A) bold(i_b) = bold(0)$ \
+    KVL in Bildraum: $ bold(A^T) bold(u_k) = bold(u_b)$
+
+    KVL in Nullraum: $bold(B) bold(u_b) = bold(0)$ \
+    KCL in Bildraum: $bold(B^T) bold(i_m) = bold(i_b)$ \
+
+    *Tellegen'sche Satz* \
+    $bold(A B^T) = bold(B^T A) = 0$ \
+    $bold(u_b^T i_b) = 0$
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAnalyseVerfahren)[
+    #subHeading(fill: colorAnalyseVerfahren)[Baumkonzept]
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAnalyseVerfahren)[
+    #subHeading(fill: colorAnalyseVerfahren)[Machenstrom-/Knotenpotenzial-Analyse]
+  ]
+
+  #bgBlock(fill: colorAnalyseVerfahren)[
+    #subHeading(fill: colorAnalyseVerfahren)[Reduzierte Knotenpotenzial-Analyse]
+  ]
+
+  
+]
+
+#pagebreak()
+#place(bottom+left, scope: "parent", float: true)[
+  #bgBlock(fill: colorZweiTore)[
+    #subHeading(fill: colorZweiTore)[Umrechnung Zweitormatrizen]
+      #show table.cell: it => pad(),
+
+      #table(
+        columns: (auto, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr, 1fr),
+        align: center,
+        gutter: 0.1mm,
+        [In $->$], $bold(R)$, $bold(G)$, $bold(H)$, $bold(H')$, $bold(A)$, $bold(A')$,
+        
+        $bold(R)$,
+        $mat(r_11, r_12; r_21, r_22)$,
+        $1/det(bold(G)) mat(g_22, -g_12; -g_21, g_11)$,
+        $1/h_22 mat(det(bold(H)), h_12; -h_21, 1)$,
+        $1/h'_11 mat(1, -h'_12; h'_21, det(bold(H')))$,
+        $1/a_21 mat(a_11, det(bold(A)); 1, a_22)$,
+        $1/a'_21 mat(a'_22, 1; det(bold(A')), a'_11)$,
+
+        $bold(G)$,
+        $1/det(bold(R)) mat(r_22, -r_12; -r_21, r_11)$,
+        $mat(g_11, g_12; g_21, g_22)$,
+        $1/h_11 mat(1, -h_12; h_21, det(bold(H)))$,
+        $1/h'_22 mat(det(bold(H')), h'_12; -h'_21, 1)$,
+        $1/a_12 mat(a_22, -det(bold(A)); -1, a_11)$,
+        $1/a'_12 mat(a'_11, -1; -det(bold(A')), a'_22)$,
+
+        $bold(H)$,
+        $1/r_22 mat(det(bold(R)), r_12; -r_21, 1)$,
+        $1/g_11 mat(1, -g_12; g_21, det(bold(G)))$,
+        $mat(h_11, h_12; h_21, h_22)$,
+        $1/det(bold(H')) mat(h'_22, -h'_12; -h'_21, h'_11)$,
+        $1/a_22 mat(a_12, det(bold(A)); -1, a_21)$,
+        $1/a'_11 mat(a'_12, 1; -det(bold(A')), a'_21)$,
+
+        $bold(H')$,
+        $1/r_11 mat(1, -r_12; r_21, det(bold(R)))$,
+        $1/g_22 mat(det(bold(G)), g_12; -g_21, 1)$,
+        $1/det(bold(H)) mat(h_22, -h_12; -h_21, h_11)$,
+        $mat(h'_11, h'_12; h'_21, h'_22)$,
+        $1/a_11 mat(a_21, -det(bold(A)); 1, a_12)$,
+        $1/a'_22 mat(a'_21, -1; det(bold(A')), a'_12)$,
+
+        $bold(A)$,
+        $1/r_21 mat(r_11, det(bold(R)); 1, r_22)$,
+        $1/g_21 mat(-g_22, -1; -det(bold(G)), -g_11)$,
+        $1/h_21 mat(-det(bold(H)), -h_11; -h_22, -1)$,
+        $1/h'_21 mat(1, h'_22; h'_11, det(bold(H')))$,
+        $mat(a_11, a_12; a_21, a_22)$,
+        $1/det(bold(A')) mat(a'_22, a'_12; a'_21, a'_11)$,
+
+        $bold(A')$,
+        $1/r_12 mat(r_22, det(bold(R)); 1, r_11)$,
+        $1/g_12 mat(-g_11, -1; -det(bold(G)), -g_22)$,
+        $1/h_12 mat(1, h_11; h_22, det(bold(H)))$,
+        $1/h'_12 mat(-det(bold(H')), -h'_22; -h'_11, -1)$,
+        $1/det(bold(A)) mat(a_22, a_12; a_21, a_11)$,
+        $mat(a'_11, a'_12; a'_21, a'_22)$,
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