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src/Analysis_rewrite.typ

@@ -48,7 +48,7 @@
         $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
       ],
       [Geometrische Summenformel], [
-        #MathAlignLeft($ sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
+        #MathAlignLeft($ limits(sum)_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
       ],
       [Bernoulli-Ungleichung ], [
         $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$
@@ -64,10 +64,58 @@
       [Gausklammer], [
         $floor(x) = text("floor")(x)$ \
         $ceil(x) = text("ceil")(x)$
+      ],
+      [Bekannte Werte], [
+        $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
+        $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
       ]
     )
   ]
 
+  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie]
+    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
+    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
+
+    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
+    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$
+
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$],
+      [$sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$]
+    )
+
+    $cos^2(x) + sin^2(x) = 1$
+    
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$cos(-x) = cos(x)$],
+      [$sin(-x) = -sin(x)$],
+    )
+
+    Subsitution mit Hilfsvariable
+
+    #grid(
+      gutter: 5mm,
+      row-gutter: 3mm,
+      columns: (auto, auto),
+      [$tan(x)=sin(x)/cos(x)$],
+      [$cot(x)=cos(x)/sin(x)$],
+      [$tan(x)=-cot(x + pi/2)$],
+      [$cot(x)=-tan(x + pi/2)$],
+      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
+      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],
+    )
+    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$
+
+    Für $x in [-1, 1]$ \
+    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
+    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
+  ]
+
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen]
     $ lim_(x -> infinity) a_n $
@@ -170,16 +218,82 @@
 
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
     #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen]
+    $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \
+
+    - *Absolute Konvergenz* \
+      $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
+    
+
+
+    - *Partialsummen* \
+      ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
+      $=>$ _Absolute Konvergent_
+
+    - *(Cauchy-Kriterium)*\
+      konvergent wenn $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ \
+      sodass $abs(s_n - s_m) = abs(limits(sum)_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
+      $forall n_epsilon < m < n $
+
+    - *Leibnitzkriterium* \
+      Alternierend + Nullfolge \
+      $=> limits(sum)_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent
+
+    - *Vergleichskriterium* \
+      $a_n, b_n : abs(a_n) <= b_n space forall n in NN > N_0, N_0 in NN$
+      1. $limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
+        Suche $b_n$ für Konvergenz
+      2. $limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
+        Suche $abs(a_n)$ für Divergenz
+
+      Nützlich:
+      - Dreiecksungleichung
+      - $forall space n > N_0 in NN space exists k,q in RR$ \
+        sodass $q > 1$: $n^k <= q^n$ (Potenz stärker Polynom)
+
+    - *Quotientenkriterium und Wurzelkriterium*
+      1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
+      2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
+      
+      divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
+
+    - *Geometrische Reihe* 
+      $limits(sum)_(n=0)^infinity q^n$
+      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
+      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
+    - *Harmonische Reihe* $limits(sum)_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
+
+    - *Reihendarstellungen*
+      1. $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
+      2. $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
+      3. $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+      4. $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
     #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen]
   ]
 
-  #colbreak()
 
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
     #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]
+    Sei $f : [a,b] -> RR$, stetig auf $x in [a,b]$
+    - *Zwischenwertsatz* \
+      $=> forall y in [f(a), f(b)] exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
+      _Beweiß für mindest. n Nst_
+    - *Satze von Rolle* \
+      diffbar $x in (a,b)$\
+      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$
+      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_
+
+    - *Mittelwertsatz*
+      diffbar $x in (a,b)$ \
+      $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$
+
+    - *Monotonie* \
+      $x in I : f'(x) < 0$: Streng monoton steigended \
+      $x_0,x_1 in I,  x_0 < x_1 => f(x_0) < f(x_1)$ \
+      (Analog bei (streng ) steigned/fallended)
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
@@ -256,7 +370,47 @@
       [$e^(x) : e^(x)$],
     )
     - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$
-  ]
+  ],
+
+  #block([
+    #set text(size: 10pt)
+    #table(
+      align: horizon, 
+      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
+      table.header([*$F(x)$*], [*$f(x)$*], [*$f'(x)$*]),
+      row-gutter: 1mm,
+      fill: (x, y) => if x == 0 { color.hsl(180deg, 89.47%, 88.82%) }
+        else if x == 1 { color.hsl(180deg, 100%, 93.14%) } else 
+          { color.hsl(180deg, 81.82%, 95.69%) },
+      [$1/(q + x) x^(q+1)$], [$x^q$], [$q x^(q-1)$],
+      [$ln abs(x)$], [$1/x$], [$-1/x^2$],
+      [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$1 / x$],
+      [$2/3 sqrt(a x^3)$], [$sqrt(a x)$], [$a/(2 sqrt(a x))$],
+      [$e^x$], [$e^x$], [$e^x$],
+      [$a^x/ln(a)$], [$a^x$], [$a^x ln(a)$],
+
+      [$x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)$],
+      [$arcsin(x)$], [$1/sqrt(1 - x^2)$],
+
+      [$x arccos(x) - sqrt(1 - x^2)$],
+      [$arccos(x)$], [$-1/sqrt(1 - x^2)$],
+
+      [$x arctan(x) - 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
+      [$arctan(x)$], [$1/(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arccot")(x) + \ 1/2 ln abs(1 + x^2)$],
+      [$op("arccot")(x)$], [$-1/(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arsinH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
+      [$op("arsinH")(x)$], [$1/sqrt(1 + x^2)$],
+
+      [$x op("arcosH")(x) + \ sqrt(1 + x^2)$],
+      [$op("arcosH")(x)$], [$1/sqrt(x^2-1)$],
+
+      [$x op("artanH")(x) + \ 1/2 ln(1 - x^2)$],
+      [$op("artanH")(x)$], [$1/(1 - x^2)$],
+    )
+  ])
 
   #colbreak()
 ]