diff --git a/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ b/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ index 55c848d..e279379 100644 --- a/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ +++ b/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ @@ -443,59 +443,10 @@ content((0.5, 0.5), $A$) }) ) - - #table( - columns: (auto, 1fr), - inset: 2mm, - fill: (x, y) => if (calc.rem(y, 2) == 0) { tableFillLow } else { tableFillHigh }, - [*Einheits Matrix*\ $I,E$], [], - [*Diagonalmatrix* \ $Sigma,D$], [ - Nur Einträger auf Hauptdiagonalen \ - $det(D) = d_00 dot d_11 dot d_22 dot ...$ - ], - [*Symetrisch*\ $S$], [ - $S = S^T$, $S in KK^(n times n)$\ - $A A^T$, $A^T A$ ist symetrisch \ - $S$ immer diagonaliserbar \ - EW immer $in RR$, EV orthogonal - ], - [*Invertierbar*], [ - $exists A^(-1) : A A^(-1) = A^(-1) A = E$ \ - - *Invertierbar wenn:* \ - $A$ bijektiv, $det(A) = 0$ \ - $"Spalten Vekoren lin. unabhänig"$ \ - $Rang(A) = n, A in KK^(n times n)$ \ - $det(A) = 0$ \ - - *Nicht Invertierbar wenn:*\ - $exists$ EW $!= 0 => not "invertierbar"$ - Keine Qudratische Matrix - ], - [*Orthogonal*\ $O$], [ - $O^T = O^(-1)$ \ - $ip(O v, O w) = ip(v, w)$ - ], - [*Unitair*], [ - $V^* )$ - ], - [*Diagonaliserbar*], [ - $exists A = B D B^(-1)$, $D$ diagonal, - - $B$: Splaten sind EV von $A$ - - - Selbst-Adujunkte diagonalisierbar - - Symetrisch Matrix - - $A in KK^(n times n) "AND" alg(lambda) = geo(lambda)$ - ], - [*postiv-semi-definit*], [ - $forall$ EW $>= 0$ - ], - ) ] #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ - #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinate und Bilinearform] + #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Linearform] - Sclar-Produkt $ip(ve(a), ve(b))$ ist Bi-Linearform - Symetrisch @@ -515,14 +466,28 @@ - $ve(v)_1, ... "linear abhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) = 0$ - $ve(v)_1, ... "linear unabhänig" <=> f(ve(v)_1, ...) != 0$, eindeutig - #SeperatorLine + - *Positiv definite symetrisch Bilinearform* + - $equiv$ Skalarprodukt $ip(dot, dot)$ in $RR$ + - $f(ve(v)_1, ve(v)_2) = f(ve(v)_2, ve(v)_1), space space forall ve(v)_1, ve(v)_2 in KK^n$ + - linear in beiden Argumenten + - $f(ve(v), ve(v)) > 0, v in V without {ve(0)}$ + ] + + #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ + #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Determinante] *Determinaten Form* \ - Nicht tiviale ($f(...) = 0$) n-Linearform auf einem VR. + Nicht tiviale ($f(...) = 0$) alternierende n-Linearform auf einem VR. $exists$ Immer, in jeder Scalierung Speziell für Martizen $in KK^(n times n)$ \ (Qudratische, Endomorphismus) + *Herleitung:* + Für die $det equiv delta$: $delta(e_1, e_2, e_3, ...) = 1$, alternierend und n-linearform + + 1. Mit Linearität zerlegen + 2. Mit Alterniered, Element tauschen: $delta(e_1, e_2, e_3, ...) dot ...$ + *Leibniz-Formel* $det(A) = limits(sum)_(sigma in S_n) sign(sigma)( a_(sigma(1)1) dot a_(sigma(2)2) dot dots dot a_(sigma(n)n))$ @@ -611,11 +576,50 @@ ] #bgBlock(fill: colorVR)[ - #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische Vektorräume] - ] + #subHeading(fill: colorVR)[Eukldische/Unitair Vektorräume] + + *Kannonische Scalar Produkt* + + $ip(ve(x), ve(y)) := limits(sum)_(i=1)^n x_i y_i$ + + - Positiv definit: $ip(ve(x), ve(x)) > 0$ + - Linear in beiden Argument: \ + $ip(lambda ve(x), ve(y)) = lambda ip(ve(x), ve(y))$\ + $ip(ve(x) + ve(a), ve(y)) = ip(ve(x), ve(y)) + ip(ve(a), ve(y))$ + + *Norm* + - $norm(ve(v)) = 0 <=> ve(v) = ve(0)$ + - $norm(lambda ve(v)) = abs(lambda) norm(ve(v))$ + - Dreieckesungleichung: $norm(x + y) <= norm(x) + norm(y)$ + + Generisch/$L_p$-Norm: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$ + + *Induzierte Norm:* $norm(ve(v)) = sqrt(ip(ve(v), ve(v)))$ (Bliebiges $ip(dot, dot)$) + + *Eukldische Norm:* + - $L_2$-Norm/kannoische Norm: $norm(ve(v)) = sqrt(ip(ve(v), ve(v)))$ + + *Cauchy-Schwarz-Ungleichung:* $abs(ip(v, w)) <= norm(v) norm(w)$ + - Gilt in Eukldische Vektoraum + - Gilt nur mit aus Eukldischer Norm + + *Euklidsche Vektorraum:* + - $ = (RR^n"-Vekorraum", ip(dot, dot))$, (Irgendeine Skalarprodukt) + - Eigenschaften: + - Polarisation: $ip(v, w) = 1/4 (norm(v + w)^2 - norm(v -w )^2)$ + - Parallelogrammgleichung: \ + $2 (norm(v)^2 + norm(w)^2) = norm(v + w)^2 + norm(v - w)^2$ + - Winkel: $cos alpha = ip(v, w)/(norm(v) norm(w))$ + + *Orthogonal Vektoren:* $ip(v, w) = 0$ \ + *Ortho#text(red)[normal] Vektoren:* $ip(v, w) = 0$ UND $norm(v),norm(w) = 1$ + + #SeperatorLine + #colbreak() + *Orthogonal Projektion* + + $U subset V$ Untervektorraum eines Eukldische VRs $V$, $U$ orthogo#text(red)[normal]: $pi_U(v) = limits(sum)_(i=1)^k ip(v, u_i) u_i$ - #bgBlock(fill: colorVR)[ - #subHeading(fill: colorVR)[Unitair Vektorräume ] ] #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[ @@ -663,6 +667,14 @@ #bgBlock(fill: colorMatrixVerfahren)[ #subHeading(fill: colorMatrixVerfahren)[Gram-Schmit ONB] + Idee: $ip("Orth"#text(red)[normal] v, x) = "Anteil von" x "an" v$ \ + Ziel: Basis $W -->$ Orthogonal Bais $V$ + + 1. $v_1 = 1/norm(w_1)$ + 2. $hat(v)_(j+1) = w_(j+1) -ip(w_(j+1), v_1)v_1 - ip(w_(j+2), v_2)v_2 ... $ + + 3. $v_(j+1) = hat(v)_(j+1)/norm(hat(v)_(j+1))$ + ] @@ -744,21 +756,18 @@ $S = mat(sigma_0, 0; 0, sigma_1; dots.v, dots.v; 0, 0) quad quad quad S = mat(sigma_0, 0, dots, 0; 0, sigma_1, ..., 0)$ ] - #colbreak() #bgBlock(fill: colorMatrix)[ #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Normen] $|| dot ||_M$ Matrix Norm, $|| dot ||_V$ Vektornorm - Generisch Vektor Norm: $|| v ||_p = root(p, sum_(k=1)^n (x_k)^p)$ - - submultiplikativ: $||A B||_"M" <= ||A||||B||$ - verträglich mit einer Vektornorm: $||A v||_"V" <= ||A||_"M" ||v||_"V"$ *Frobenius-Norm* $||A||_"M" = sqrt(sum_(i=1)^m sum_(j=1)^n a_(m n)^2)$ *Induzierte Norm* \ - $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V) = sup_(||v|| = 1) (||A v||_V)/(||v||_V)$ + $||A||_"M" = sup_(v in V without {0}) (||A v||_V)/(||v||_V) = sup_(||v|| = 1) ||A v||_V$ - submultiplikativ - verträglich mit einer Vektornorm $||dot||_V$ @@ -794,3 +803,65 @@ #sinTable ] +#columns(2)[ + #table( + columns: (auto, 1fr), + inset: 2mm, + fill: (x, y) => if (calc.rem(y, 2) == 0) { tableFillLow } else { tableFillHigh }, + [*Einheits Matrix*\ $I,E$], [ + $det(E) = 1$ + ], + [*Diagonalmatrix* \ $Sigma,D$], [ + Nur Einträger auf Hauptdiagonalen \ + $det(D) = d_00 dot d_11 dot d_22 dot ...$ + ], + [*Symetrisch*\ $S$], [ + $S = S^T$, $S in KK^(n times n)$\ + $A A^T$, $A^T A$ ist symetrisch \ + $S$ immer diagonaliserbar \ + EW immer $in RR$, EV orthogonal + ], + [*Invertierbar*], [ + $exists A^(-1) : A A^(-1) = A^(-1) A = E$ \ + + *Invertierbar wenn:* \ + $A$ bijektiv, $det(A) = 0$ \ + $"Spalten Vekoren lin. unabhänig"$ \ + $Rang(A) = n, A in KK^(n times n)$ \ + $det(A) = 0$ \ + + *Nicht Invertierbar wenn:*\ + $exists$ EW $!= 0 => not "invertierbar"$ + Keine Qudratische Matrix + ], + [*Orthogonal*], [ + #grid( + columns: (1fr, 1fr), + [ + - Immer Bijektiv + - $det (A) = plus.minus 1$ + $O^T = O^(-1) quad quad O^T O = O O^T = I$ \ + $ip(O v, O w) = ip(v, w)$ + ] + ) + + ], + [*Unitair* $equiv$ Orthogonal $in CC$], [ + - Immer Bijektiv + $V = V^*$ + + ], + [*Diagonaliserbar*], [ + $exists A = B D B^(-1)$, $D$ diagonal, + + $B$: Splaten sind EV von $A$ + + - Selbst-Adujunkte ($$) diagonalisierbar + - Symetrisch Matrix + - $A in KK^(n times n) "UND" alg(lambda) = geo(lambda)$ + ], + [*postiv-semi-definit*], [ + $forall$ EW $>= 0$ + ], + ) +]