SVD started

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -16,12 +16,14 @@
   number-align: center
 )
 
+#set text(size: 8pt)
+
 #place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
   [Linear Algebra EI]
 ))
 
 #let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
-#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
+#let colorMatrix = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
 #let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)
@@ -173,5 +175,129 @@
         $op("Rang") f := dim op("Bild") f$
     ]
 
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Matrix Typen]
+
+        *Einheits Matrix* $I,E$
+
+        *Diagonalmatrix*
+
+        *Symetrisch* $S$: \
+        $A A^T$ ist symetrisch
+        
+        *Orthogonal* $O$:
+
+        *Unitair:*
+
+        *postiv-semi-definit* \
+        $forall$ Eigenwerte $>= 0$
+    ]
+
+    #colbreak()
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Eigenwert und Eigenvektoren ]
+
+        $A in CC^(n times n):$ $n$ Complexe Eigenwerte \
+        $A in RR^(n times n)$
+
+        *Eigentwete bestimmen*
+        
+        $A v = lambda v$
+
+        Lösen: $0 = det mat(#mannot.markhl($x_11 - lambda_1$, color: red), x_12, ..., x_(1n);
+            x_21, #mannot.markhl($x_22 - lambda_2$, color: red), ..., x_(2n);
+            dots.v, dots.v, dots.down,  dots.v;
+            x_(n 1), x_(n 2), ..., #mannot.markhl($x_(n n) -lambda_n$, color: red)
+        )$
+
+        Charakteristisches Polynom: $chi_(A)$
+
+
+        *Eigenvektor bestimmen*
+        
+        Eigentwerte einsetzen: $lambda in {lambda_1, lambda_2, ... lambda}$
+
+
+        *Algebrasche Vielfacheit:* \
+        $sum$ Häufikeit der Nsts von $chi_A$
+
+        *Geometrische Vielfacheit:*\
+        $dim(op("spann")(v_lambda_1, v_lambda_2 ..., v_lambda_n))$ \
+
+        Anzahl der linearunabhänige $v_lambda_i$ 
+
+        $"Geometrische" <= "Algebrasche"$
+
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Diagonalisierung]
+
+        $A = R D R^T$
+
+        $D$: Diagonalmatrix
+    ]
+
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[Schur-Zerlegung]
+        immer anwendbar;
+
+        $A in RR^(n times n)\/CC^(n times n)$ zerlegbar in $O^T R O$
+    
+        Orthogonal $O,O^T$, Dreiecksmatrix $R$
+
+        $R = mat(lambda_1, *, *,..., *;
+            0, lambda_2, *, ..., *;
+            0, 0, lambda_3, ..., *;
+            dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
+            0, 0, 0, ..., lambda_n;
+        )$
+
+        1. Eigenwerte bestimmen $lambda_1, lambda_2, ... lambda_n$
+        2. Eigenvektor $v_lambda_1, v_lambda_2 ..., v_lambda_n$
+        3. 
+    ]
+
+    #colbreak()
+    #bgBlock(fill: colorMatrix)[
+        #subHeading(fill: colorMatrix)[SVD]
+
+        $A in RR^(n times m)$ zerlegbar in $A = L S R^T$ \
+        $L$ Orthogonal, $S$ Diagonalmatrix, $R$ Orthogonal \
+        $A^T = R S^T L^T$
+
+ 
+        *1. $A A^T$ berechnen* $A A^T in RR^(n times n) $
+
+        *2. Eigenwerte von $A A^T$ bestimmen* $lambda_1, lambda_2, ... lambda_n$
+
+        *3. $S$ aufstellen* ($S$ hat gleiche Form wie $A$)
+        
+        $sigma_i = sqrt(lambda_i) =  S in RR^(n x m) =\ mat(
+            sigma_1, 0, 0, ..., 0, 0, ..., 0;
+            0, sigma_2, 0, ..., 0, 0, ..., 0;
+            0, 0, sigma_3, ..., 0, 0, ..., 0;
+            dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v, dots.v, dots.down, dots.v;
+            0, 0, 0, ..., sigma_m, 0, ... , 0
+        )$
+
+        *4. $R$ bestimmen*
+
+        $op("Eig")(lambda_i) = op("kern")(A A^T - lambda_i) ->$
+
+        $A A^T - lambda_i = 0$ (Gaußverfahren)
+
+        $R = 1/sqrt(lambda_i)$
+
+        *5. $L$ bestimmen*
+        
+        $L = 1/sqrt(lambda_i) $
+    ]
+
+
+
+
 ]