Added some idenenties + LHopital

src/cheatsheets/Analysis1.typ

@@ -1,6 +1,9 @@
 #import "../lib/common_rewrite.typ" : *
 #import "@preview/mannot:0.3.1"
 
+#show math.integral: it => math.limits(math.integral)
+#show math.sum: it => math.limits(math.sum)
+
 #set page(
   paper: "a4", 
   margin: (
@@ -40,40 +43,28 @@
 #columns(4, gutter: 2mm)[
   #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
     #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins]
-    #grid(
-      columns: (auto, auto),
-      row-gutter: 2mm,
-      column-gutter: 3mm,
-      [Dreiecksungleichung], [
-        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
-        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$
-      ],
-      [Cauchy-Schwarz-Ungleichung], [
-        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$
-      ],
-      [Geometrische Summenformel], [
-        #MathAlignLeft($ limits(sum)_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2 $)
-      ],
-      [Bernoulli-Ungleichung ], [
-        $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$
-      ],
-      [Binomialkoeffizient], [
-        $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
-      ],
-      [Binomische Formel], [
-        #MathAlignLeft($ (a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $)
-      ],
-      [Fakultäten], [$ 0! = 1! = 1 $],
 
-      [Gausklammer], [
+    *Dreiecksungleichung* \
+      $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
+      $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$ \
+    *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\
+      $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \
+    *Geometrische Summenformel*\
+      $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \
+    *Bernoulli-Ungleichung* \
+    $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \
+    *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
+
+    *Binomische Formel*\
+$(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
+    *Fakultäten* $0! = 1! = 1$ \
+    *Gaußklammer*: \
         $floor(x) = text("floor")(x)$ \
-        $ceil(x) = text("ceil")(x)$
+        $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \
-      ],
+    *Bekannte Werte* \
-      [Bekannte Werte], [
+      $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
-        $e approx  2.71828$ ($2 < e < 3$) \
+      $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
-        $pi approx 3.14159$ ($3 < pi < 4$)
+  
-      ]
-    )
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
@@ -84,8 +75,20 @@
 
     #grid(
       columns: (1fr, 1fr),
+      row-gutter: 2mm,
       [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $],
-      [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $]
+      [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $],
+      grid.cell(
+        colspan: 2,
+        align: center,
+        $ tan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
+      ),
+      grid.cell(
+        colspan: 2,
+        align: center,
+        $ arctan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
+      )
+        
     )
     #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie]
     *Additionstheorem* \
@@ -93,6 +96,10 @@
     $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
     $tan(x) + tan(y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
     $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \
+    $arctan(1/x) + arctan(x) = cases(
+      x > 0 : pi/2,
+      x < 0 : -pi/2
+    )$
 
     *Doppelwinkel Formel* \
     $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
@@ -176,8 +183,10 @@
       $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
       Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
     - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
+  ]
 
-    *Konvergent Grenzwert finden*
+  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
+    #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen Konvergenz Strategien]
     - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
     - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
       für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
@@ -189,6 +198,23 @@
       $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
     - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
       (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
+
+
+    *L'Hospital*
+    
+      $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$
+
+      (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$)
+
+      Bendingungen:
+      1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$
+      2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$
+      3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ existiert
+
+      $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$
+
+      Kann auch Reksuive angewendet werden!
+
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
@@ -212,15 +238,14 @@
   #bgBlock(fill: colorFolgen)[
     #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
     #grid(
-      columns: (auto, auto, auto),
+      columns: (auto, auto),
       column-gutter: 4mm,
       row-gutter: 2mm,
       align: bottom,
       MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
-      [],
-      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $),
-      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $)), 
       MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $),
+      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $), 
+      MathAlignLeft($ e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $),
       grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = cases(
         0 &abs(q),
         1 &q = 1,
@@ -246,8 +271,6 @@
     - *Absolute Konvergenz* \
       $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
     
-
-
     - *Partialsummen* \
       ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
       $=>$ _Absolute Konvergent_
@@ -278,19 +301,6 @@
       2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
       
       divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
-
-    - *Geometrische Reihe* 
-      $limits(sum)_(n=0)^infinity q^n$
-      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
-      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
-    - *Harmonische Reihe* $limits(sum)_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
-
-    - *Reihendarstellungen*
-      1. $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
-      2. $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
-      3. $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
-      4. $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
-
   ]
 
   #bgBlock(fill: colorReihen)[
@@ -305,9 +315,16 @@
 
     *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
     
-    *Andere*
+    *Reihendarstellungen*
-    - $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
+    #grid(
-    - $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
+      columns: (1fr, 1fr),
+      gutter: 3mm,
+      row-gutter: 2mm,
+      $e^x = limits(sum)_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$,
+      $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$,
+      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $,
+      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^infinity $
+    )
   ]
 
   #colbreak()
@@ -421,7 +438,7 @@
           { color.hsl(180deg, 81.82%, 95.69%) },
       [$1/(q + x) x^(q+1)$], [$x^q$], [$q x^(q-1)$],
       [$ln abs(x)$], [$1/x$], [$-1/x^2$],
-      [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$1 / x$],
+      [$x ln(a x) - x$], [$ln(a x)$], [$a / x$],
       [$2/3 sqrt(a x^3)$], [$sqrt(a x)$], [$a/(2 sqrt(a x))$],
       [$e^x$], [$e^x$], [$e^x$],
       [$a^x/ln(a)$], [$a^x$], [$a^x ln(a)$],
@@ -470,6 +487,50 @@
     3. $x$-kürzen sich weg
   ])
 
+  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
+    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
+
+    *Riemann Integral*\
+    $limits(sum)_(x=a)^(b) f(i)(x_())$
+
+    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$
+
+    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$
+
+    *Integral Type*\
+    - Eigentliches Int.: $integral_a^b f(x) d x$ 
+    - Uneigentliches Int.: \ 
+      $limits(lim)_(epsilon -> 0) integral_a^(b + epsilon) f(x) d x$ \
+      $limits(lim)_(epsilon -> plus.minus infinity) integral_a^(epsilon) f(x) d x$
+    - Unbestimmtes Int.: $integral f(x) d x = F(x) + c, c in RR$- Uneigentliches Int.: 
+    
+    
+    *Cauchy-Hauptwert*
+
+    $integral_(-infinity)^(+infinity) f(x)$ \
+    NUR konvergent wenn: \
+    $limits(lim)_(R -> -infinity) integral_(R)^(a) f(x) d x$ und $limits(lim)_(R -> infinity) integral_(a)^(R) f(x) d x$ konvergent für $a in RR$
+
+    $integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ existiert \
+    $=> lim_(M -> infinity) integral_(-M)^(M) f(x) d x = integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ 
+
+    *Partial Integration*
+    
+    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$
+
+    *Subsitution*
+
+    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d x$
+    
+    1. Ersetzung: $ d x := d t dot g'(x)$ und $t := g(x)$
+    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
+    3. $x$-kürzen sich weg
+
+    *Absolute "Konvergenz"* \
+    Wenn $g(x)$ konvergent, 
+    $abs(f(x)) <= g(x) => $ $f(x)$ konvergent
+  ])
+
 ]
 
 #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
@@ -524,23 +585,4 @@ Konvergenz Radius $R = [0, infinity)$$$
 )$
 
 $ R = limsup_(n -> infinity) $
-  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
-    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])
-
-    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$
-
-    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$
-
-    *Partial Integration*
-    
-    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$
-
-    *Subsitution*
-
-    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot g'(x) d x$
-    
-    1. Ersetzung: $ d x := d t dot 1/(g'(x))$ und $t := g(x)$
-    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$
-    3. $x$-kürzen sich weg
-  ])