From 76ab900cac597574c835530bec8154017f67acf7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: alexander Date: Tue, 6 Jan 2026 20:23:25 +0100 Subject: [PATCH] Further expended linal Sammlung --- src/Analysis_rewrite.typ | 20 ---- src/LinearAlgebra.typ | 191 +++++++++++++++++++++++++++++++------ src/lib/common_rewrite.typ | 8 +- 3 files changed, 169 insertions(+), 50 deletions(-) diff --git a/src/Analysis_rewrite.typ b/src/Analysis_rewrite.typ index 3704924..8af6623 100644 --- a/src/Analysis_rewrite.typ +++ b/src/Analysis_rewrite.typ @@ -21,26 +21,6 @@ [Analysis 1 (IE)] )) - - -#let subHeading(body, fill: color) = { - box( - align( - top+center, - text( - body, - size: 10pt, - weight: "regular", - style: "italic", - ) - ), - fill: fill, - width: 100%, - inset: 1mm, - height: auto - ) -} - #let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm)) #let MathAlignLeft(e) = { align(left, block(e)) diff --git a/src/LinearAlgebra.typ b/src/LinearAlgebra.typ index 92a67f6..acdb14e 100644 --- a/src/LinearAlgebra.typ +++ b/src/LinearAlgebra.typ @@ -1,42 +1,177 @@ #import "@preview/biceps:0.0.1" : * +#import "@preview/mannot:0.3.1" #import "lib/styles.typ" : * +#import "lib/common_rewrite.typ" : * -#show: stdTemplate +#set page( + paper: "a4", + margin: ( + bottom: 10mm, + top: 5mm, + left: 5mm, + right: 5mm + ), + flipped:true, + numbering: "— 1 —", + number-align: center +) + +#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading( + [Linear Algebra EI] +)) + +#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%) +#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%) +#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%) +#let colorAbbildungen = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%) +#let colorGruppen = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%) + + +#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm)) +#let MathAlignLeft(e) = { + align(left, block(e)) +} +#columns(4, gutter: 2mm)[ + #bgBlock(fill: colorAllgemein)[ + #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notation] + + + ] + + #bgBlock(fill: colorGruppen)[ + #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen] -#flexwrap( - main-spacing: 1mm, - cross-spacing: 1mm, - stdBlock([ *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$ - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$ *Monoid* Halbgruppe $M$ mit: - Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$ *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit - Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$ + + #SeperatorLine + *Gruppe:* Monoid mit - - Inverse: $forall a in M : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$ - - Eindeutig Lösung für Gleichungen - - Auch kommutativ wenn: $a dot a = e$ - *Ring:* Menge $M$ mit: - - Kommutativ Gruppe unter $(M, +)$, - - Halbgruppe unter $(M, dot)$ - - Distributiv Gesetz: $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b)$ - *Körper:* Menge $M$ mit: - - Kommutativ Gruppe unter $(M, +)$ - - Kommutativ Gruppe unter $(M, times)$ - - Distributiv Gesetz: $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b)$ - ]), - stdBlock( - [ - *Injectiv:* one to one \ - $f(x) = f(y) <=> x = y$ + - Inverse: $forall a in G : exists space a a^(-1) = a^(-1)a = e$ + - Eindeutig Lösung für Gleichungen + Zusatz: + - Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$ + *Untergruppe:* + - Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$ + - $a,b in U <=> a dot b in U$ + - $a in U <=> a^(-1) in U$ + - $e in U$ (Neutrales Element) - *Surjectiv:* Output space coverered \ - - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$ + *Direktes Produkt:*\ + $(G_1,dot_1) times (G_2,dot_2) times ... $ \ + $(a_1,b_1,...)(a_2,b_2,...)= (a_1 dot_1 b_1, a_2 dot_2 b_2, ...)$ - Beweiß durch Wiederspruch \ - für Gegenbeweiß - ] - ), -) + #SeperatorLine + + *Ring:* (auch Schiefkörper) Menge $R$ mit: + - $(R, +)$ kommutativ Gruppe + - $(R, dot)$ Halbgruppe + - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz) + + #colbreak() + + *Körper:* Menge $K$ mit: + - $(K, +), (K without {0} , dot)$ kommutativ Gruppe \ + ($0$ ist Neutrales Element von $+$) + - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz) + _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_ + ] + + #bgBlock(fill: colorReihen)[ + #subHeading(fill: colorReihen)[Vektorräume (VR)] + $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$ + - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$ + - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$ + Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$ + - $(lambda mu)v = lambda (mu v)$ + - $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\ + $(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$ + - $1v = v$, $arrow(0) in V$ + Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$) + + *Untervektorraum:* $U subset V$ \ + $v,w in U, lambda in K$ \ + $ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$ + - $(U inter W) subset V$ + ] + + #bgBlock(fill: colorReihen)[ + #subHeading(fill: colorReihen)[Basis und Dim] + *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ + - $Phi(0) = 0$ + - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$ + - Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$ + + *Basis:*\ + linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$ + - $B$ ist Erzeugerssystem von $V$ + - Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$ + + *Linear unabhänige:* + Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$ + + *Basisergänzungssatz:* \ + Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist) + + *Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis + - $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist + ] + + #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ + #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen) + + $f(x)=y, f: A -> B$ + + *Injectiv (Monomorphismus):*\ + _one to one_ \ + $f(x) = f(y) <=> x = y$ + + *Surjectiv (Epimorhismis):* \ + _Output space coverered_ \ + - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$ + - $forall x in B: exists x in A : f(x) = y$ + NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$ + + *Bijektiv (Isomorphismus):* \ + _Injectiv und Surjectiv_ \ + - In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv + - isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$ + + Beweiß durch Wiederspruch \ + für Gegenbeweiß + + *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$ + + *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus) + + *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR + ] + + #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[ + #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild] + *Spann:* + - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$ + - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$ + - $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$ + + *Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$ + + *Bild:* Wertemenge $WW$ + - $f(I subset A) = B$ (Oft $I = A$) + - Basis $B : op("spann")(B)$ + - $op("Bild") Phi := {Phi in W | v in V}$ + + *Nullraum/Kern:* \ + $op("Kern") Phi := {v in V | Phi(v) = 0}$ + + *Rang* + $op("Rang") f := dim op("Bild") f$ + ] + +] + diff --git a/src/lib/common_rewrite.typ b/src/lib/common_rewrite.typ index 2521372..7c29f45 100644 --- a/src/lib/common_rewrite.typ +++ b/src/lib/common_rewrite.typ @@ -5,12 +5,12 @@ align(left, block(e)) } -#let subHeading(it: content, fill: color) = { +#let subHeading(body, fill: color) = { box( align( top+center, text( - it, + body, size: 10pt, weight: "regular", style: "italic", @@ -22,3 +22,7 @@ height: auto ) } + +#let MathAlignLeft(e) = { + align(left, block(e)) +} \ No newline at end of file