LinAlg Correction

src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ

@@ -20,7 +20,7 @@
   number-align: center
 )
 
-#set text(size: 8pt)
+#set text(size: 6pt)
 
 #place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
   [Linear Algebra EI]
@@ -38,24 +38,19 @@
 #let MathAlignLeft(e) = {
   align(left, block(e))
 }
-#columns(4, gutter: 2mm)[
+#columns(5, gutter: 2mm)[
-    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
-        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
 
-        #ComplexNumbersSection()
-        
-        #sinTable
-    ]
 
     #bgBlock(fill: colorGruppen)[
          #subHeading(fill: colorGruppen)[Gruppen]
 
         *Halbgruppe:* $(M, compose): M times M arrow M$
-        - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$
+        - Assoziativgesetz: $a dot (b dot c) = (a dot b) dot c$ \
+            z.B. Komposition von Funktionen
         *Monoid* Halbgruppe $M$ mit:
-        - Identitätselment: $e in M : a e = e a = a$
+        - Neutrales-/Identäts-Element: $e in M : a e = e a = a$
         *Kommutativ/abelsch:* Halbgruppe/Monoid mit
-        - Kommutativgesetz; $a dot b = b dot a$
+        - Kommutativgesetz $a dot b = b dot a$
 
         #SeperatorLine
 
@@ -64,6 +59,10 @@
         - Eindeutig Lösung für Gleichungen 
         Zusatz:
         - Inverseregel: $(a dot b)^(-1) = b^(-1) dot a^(-1)$
+        - Wenn $a = a^(-1) =>$ Gruppe kommutativ 
+
+
+
         *Untergruppe:*
         - Gruppe: $(G, dot)$, $U subset G$
         - $a,b in U <=> a dot b in U$
@@ -87,24 +86,34 @@
             ($0$ ist Neutrales Element von $+$)
         - $(a + b) dot c = (a dot c) + (a dot b) space$ (Distributiv Gesetz)
         _Beweiß durch Überprüfung der Eigneschaften_
-    ]
 
+        #SeperatorLine
+
+        $S_n$: Symetrisch Gruppe (Permutation von element) \
+        $(S_n, compose)$ ist Gruppe, aber nicht kommutativ
+    ]
+    #colbreak()
     #bgBlock(fill: colorVR)[
         #subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
-        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K$
+        $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K (V, +, dot)$ \
-        - $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
+            $(V, +), (V, dot)$ kommutativ Gruppe
-        - $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
+        - Vektor-Addition $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
-        Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V$ 
+        - Scalar-Multiplikation $dot: K times V -> V, (lambda,v) -> lambda v$
-        - $(lambda mu)v = lambda (mu v)$
+        Es gilt: $lambda,mu in K, space v,w in V "über" K$ 
-        - $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
+        - Linearität $(lambda mu)v = lambda (mu v)$ \
-            $(lambda + mu)v = lambda v + lambda mu$
+            $lambda(v + w) = lambda v + lambda w$\
-        - $1v = v$, $arrow(0) in V$
+            $(lambda + mu)v = lambda v + mu v$
+        - Neutrales Element für $dot.o : 1v = v$
+        - Neutrales Element für $plus.o : arrow(0) in V$
         Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
 
-        *Untervektorraum:* $U subset V$ \
+        *Untervektorraum: (UVR)* $U subset V$ \
-        $v,w in U, lambda in K$ \
+        
-        $ <=> v + w in U$, $arrow(0) in U$ UND $lambda v in U$
+        #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
-        - $(U inter W) subset V$
+            align(center, $forall v,w : v + w in U$),
+            align(center, $arrow(0) in U$),
+            align(center, $forall v,lambda : lambda v in U$)
+        )
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorVR)[
@@ -136,32 +145,49 @@
 
         *Injectiv (Monomorphismus):*\
         _one to one_ \
-        $f(x) = f(y) <=> x = y$
+        $f(x) = f(y) <=> x = y$ \
+        Gilt immer: $x = y => f(x) = f(y)$
 
-        *Surjectiv (Epimorhismis):* \
+        Injektiv zweigen: Beweiß durch Wiederspruch. \
+        Angnomen $x != y, f(x) = f(y) -"Umstellen"--> x = y$
+
+        Nicht Injektiv: Gegenbeispiel finden
+        
+
+
+        *Surjectiv (Epimorhismus):* \
         _Output space coverered_ \
         - Zeigen das $f(f^(-1)(x)) = x$ für $x in DD$
         - $forall y in B: exists x in A : f(x) = y$
-        NICHT surjektiv wenn $abs(a) < abs(b)$
+        NICHT surjektiv wenn $abs(A) < abs(B)$
 
         *Bijektiv (Isomorphismus):* \
         _Injectiv und Surjectiv_ \
+        - $<=>$ Umkehrbar
         - In einer Gruppe ist $f(x) = x c$ für $c,x in G$ bijektiv
         - isomorph: $V,W$ VRs, $f$ bijektiv $f(V) = W => V tilde.equiv W$
 
         Beweiß durch Wiederspruch \
         für Gegenbeweiß
 
+        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR \
+        Bsp. jede Matrix
+
         *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$
 
-        *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus)
+        Endomorphismus: $KK^n -> KK^n$ \
+        KEIN Endomorphismus: $KK^n -> KK^m, m != n$ \
+        Bsp. #underline("Qudratische") Matrix
 
-        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR
+        *Automorphismus:* Endomorphismus und Bijektiv (Isomorphismus) \
+        Bsp. #underline("Invertierbare") Matrix, $f(x) = x$        
     ]
 
     // Spann und Bild, Kern
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
         #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
+        $f: A -> B$
+
         *Spann:* 
         - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
         - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
@@ -426,5 +452,15 @@
     #bgBlock(fill: colorMatrix)[
         #subHeading(fill: colorMatrix)[Differenzialgleichungen]
     ]
+
+    #colbreak()
+
+    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
+        
+        #ComplexNumbersSection()
+    ]
+
+    #sinTable
 ]
 

src/cheatsheets/test.typ

@@ -0,0 +1,25 @@
+#set page(
+  paper: "a3", 
+  margin: (
+    bottom: 10mm,
+    top: 5mm,
+    left: 5mm,
+    right: 5mm
+  ),
+  flipped:true,
+)
+
+#import "../lib/styles.typ" : *
+#import "../lib/common_rewrite.typ" : *
+#import "../lib/mathExpressions.typ" : *
+
+
+#columns(5)[
+  #bgBlock(fill: gray)[
+    #block(height: 100%)
+    #block(height: 100%)
+    #block(height: 100%)
+    #block(height: 100%)
+    #block(height: 100%)
+  ]
+]