fogen shit

src/Analysis1.typ

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         $ lim_(x->infinity) a_n $
         - *Beschränkt*: $exists k in RR$ so dass $abs(a_n) <= k$
           - $epsilon$-Interval: $x in (a - epsilon, a + epsilon) <=> abs(x - a) < epsilon$
-          - *Beweiß:* Induktion/Ungleichung
+          - *Beweiß:* Induktion
           - Hat min. eine konvergent Teilfolge
         - *Konvergent*:
           - Es gibt $forall epsilon > 0$ eine Index $n_epsilon in NN$ sodass \ $abs(a_n - a) < epsilon space forall n > n_epsilon$
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           - Divergent $-> -infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n < k$
           - Genzwert is eindeutig
         - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$
-          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $
+          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $  oder Umformung
         - *Konvergenz $a_n -> a$ $<=>$ beschränkt UND monoton*
           - $<=>$ Alle Teilefolgen konvergent zu $a$
           - Wenn Häufungspunk $eq.not$ $=>$ divergent
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         - Fixpunk Gleösenichung l $a = f(a)$  für $f(a_n)$
         - Bernoulli-Ungleichung für $(a_n)^n$ \
           $(1 + a)^n >= 1 + n a$ für $a >= -1$
+        - #MathAlignLeft($1 + u <= 1/(1-u), u < 1$)
           
         Für Konvergent Folgen:
         #grid(
@@ -120,22 +121,54 @@
 
 
 
-  ]), 
+  ]),
   stdBlock([
     == #hlHeading([Reihen])
+
+    Wenn $sum_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert $=>$ $a_n$ Nullfolge \
+    Wenn $a_n$ keine Nullfolge $=>$ $sum_(n=1)^infinity$ divergent
+
+    === Absolute Konvergenz
+    Bedeuted $sum_(n=1)^infinity abs(a_n) = a ==> sum_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
+    
+    $sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$ beschränkt + (monoto steigended) $= sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$
+
+    === Cauchy-Kriterium
+    konvergent wenn $forall epsilon exists n_epsilon in NN$ \
+    sodass $abs(s_n - s_m) = sum_(k=m)^(n) forall n > n_epsilon$
+
+    === Leibnitzkriterium
+    Wenn monton fallend, $a_n >= 0$, Null folge dann
+
+    $sum_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent
+
+    === Majorandenkriterium
+    Seien $a_n, b_n$ mit $abs(a_n) <= b_n space (forall n > N, N in NN)$
+    1. $sum_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $==> sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
+      Suche $b_n$ für Konvergenz
+    2. $sum_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $==> sum_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
+      Suche $abs(a_n)$ für Divergenz
+
+    Nützlich:
+    - Dreiecksungleichung
+    - $k,q in RR$, für $q > 1$: $n^k <= q^n$ ab einem bestimmten.
+
+    === Quotientenkriterium und Wurzelkriterium
+    1. $forall space n in NN space exists space rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
+    2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
+      (Stärker, aber scheiße, nur für $(...)^n$)
+
+    divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
     === Spezifische Reihen
-    #grid(columns: (auto, auto), column-gutter: 4mm, row-gutter: 2mm,
+      Geometrische Reihe: $sum_(n=0)^infinity q^n$
-      [
+      - konvergent $q < 1$, divergent  $q >= 1$
-        Geometrische Reihe:
+      - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
-        $ sum_(n=0)^infinity $
+      Harmonische Reihe: $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
-        - $ a_(n+q) = q a_n $
+
-        - Beschränkt: $abs(q) <= 1$
+      1. $e^x = sum_(n=0)^infinity (x^n)/(n!)$
-        - Unbeschränkt: $abs(q) > 1$
+      2. $ln(x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
-      ],
+      3. $sin(x) = sum_(n=0)^infinity $
-      [
+      4. $cos(x) = sum_(n=0)^infinity $
-        Harmonische Reihe:
+  
-        $ sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity $
+  ])
-      ]
-    )
-  ]),
 )