Added stetigkeit

src/Analysis1.typ

@@ -5,9 +5,9 @@
 #import "lib/common.typ": *
 
 #show: stdTemplate
-#flexwrap( // Trigonometric formulas
-  main-spacing: 1mm,
-  cross-spacing: 1mm,
+
+#place(
+  top+left,
   stdBlock([
     == #hlHeading([Trig Identitäten])
     $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
@@ -50,8 +50,18 @@
     Für $x in [-1, 1]$ \
     $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
     $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
-  ]),
-  sinTable,
+  ])
+)
+#place(
+  top + left,
+  dx: 6.5cm,
+  sinTable
+)
+
+#place(
+  top+left,
+  dx: 0cm,
+  dy: 8cm,
   stdBlock([
     #grid(
       columns:(auto, auto), 
@@ -63,13 +73,16 @@
           - $epsilon$-Interval: $x in (a - epsilon, a + epsilon) <=> abs(x - a) < epsilon$
           - *Beweiß:* Induktion
           - Hat min. eine konvergent Teilfolge
+
+        - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$
+          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $  oder Umformung
+
         - *Konvergent*:
           - Es gibt $forall epsilon > 0$ eine Index $n_epsilon in NN$ sodass \ $abs(a_n - a) < epsilon space forall n > n_epsilon$
           - Divergent $-> infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n > k$
           - Divergent $-> -infinity$, wenn $forall k in RR : exists space  a_n < k$
           - Genzwert is eindeutig
-        - *Monoton: steigen/fallend* $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$
-          - *Beweisen:* Induktion mit \ $a_(n+1) gt.eq.lt a_n$ oder $a_(n+1) / a_(n) gt.lt 1 $  oder Umformung
+
         - *Konvergenz $a_n -> a$ $<=>$ beschränkt UND monoton*
           - $<=>$ Alle Teilefolgen konvergent zu $a$
           - Wenn Häufungspunk $eq.not$ $=>$ divergent
@@ -114,15 +127,29 @@
           MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
           MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
           MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = 0 $),
+          grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $)), [],
           grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $)), [],
           grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
         )
+
+        == Teilfolgen
+        - Indizies müssen immer streng monoton \
+          wachsend sein. (z.B. is $a_1, a_1, a_2, a_2$ KEIN\
+          Teilfolge von $a_n$)
+        - Beschränkte $a_n$ $=>$ *min eine* \
+          konvergent Teilfolge
+        - Konvergent $a_n$ $=>$ *genau ein* Häufungspunkt
+        
+
       ], left: 1mm)
     )
+  ])
+)
 
-
-
-  ]),
+#place(
+  top+left,
+  dx: 13cm,
+  dy: 0cm,
   stdBlock([
     == #hlHeading([Reihen])
 
@@ -134,9 +161,14 @@
     
     $sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$ beschränkt + (monoto steigended) $= sum_(n=1)^infinity abs(a_n)$
 
+    === Partialsummen
+    Sind die Partialsummen von $sum_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
+    $==>$ _Absolute Konvergent_
+
     === Cauchy-Kriterium
-    konvergent wenn $forall epsilon exists n_epsilon in NN$ \
-    sodass $abs(s_n - s_m) = sum_(k=m)^(n) forall n > n_epsilon$
+    konvergent wenn $forall epsilon$ existiert ein $n_epsilon in NN$ \
+    sodass $abs(s_n - s_m) = abs(sum_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
+    $forall n_epsilon < m < n $
 
     === Leibnitzkriterium
     Wenn monton fallend, $a_n >= 0$, Null folge dann
@@ -152,17 +184,19 @@
 
     Nützlich:
     - Dreiecksungleichung
-    - $k,q in RR$, für $q > 1$: $n^k <= q^n$ ab einem bestimmten.
+    - $forall space n in NN$ \
+      $exists space k,q in RR$ \
+      für $q > 1$: $n^k <= q^n$ ab einem bestimmten.
 
     === Quotientenkriterium und Wurzelkriterium
-    1. $forall space n in NN space exists space rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
+    1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
     2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
-      (Stärker, aber scheiße, nur für $(...)^n$)
+      (Stärker, am besten für $(...)^n$)
 
     divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$
     === Spezifische Reihen
       Geometrische Reihe: $sum_(n=0)^infinity q^n$
-      - konvergent $q < 1$, divergent  $q >= 1$
+      - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
       - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$
       Harmonische Reihe: $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$
 
@@ -170,6 +204,58 @@
       2. $ln(x) = sum_(n=0)^infinity (-1)^n x^(n+1)$
       3. $sin(x) = sum_(n=0)^infinity $
       4. $cos(x) = sum_(n=0)^infinity $
-  
   ])
 )
+
+#place(
+  top+left,
+  dx: 0cm,
+  dy: 20cm,
+  stdBlock([
+    == Kriterien Übersich für Reihen $sum_(n=0)^infinity a_n$
+    #line()
+
+    #grid(
+      columns: (auto, auto),
+      gutter: 3mm,
+      [
+        *Notwendinge Kriterien*\
+        ($not$ Bedingung $=>$ div.)
+        - Cauchy-Kriterium
+        - #MathAlignLeft($ lim_(n->infinity)a_n = 0 $)
+        - Konvergenz der Partialsummen
+        - Beschränktheit der Partialsummen
+      ],
+      [
+        *Hinreichende Kriterien* \
+        (Bedingung $=>$ konv.)
+        - Absolute Konvergenz
+        - Leibnitz-Kroterium
+        - Beschränktheit der Partialsummen
+        - Quotienten-/Wurzel-kriterium
+        - Majorandenkriterium
+      ]
+    )
+  ])
+)
+
+#pagebreak()
+#place(
+  left+top,
+  dx: 0cm,
+  dy: 0cm,
+  stdBlock([
+    == #hlHeading([Funktionen])
+    === Stetigkeit
+    Stetig an der stelle $x_0$ wenn: $ lim_(x->x_0+) f(x) = lim_(x->x_0-) f(x) =f(x_0) $
+    $f(x)$ muss nicht definiert sein an $x_0$
+    === Differenzierbar
+    An der stelle $x_0$ wenn
+    #MathAlignLeft($ 
+      lim_(h -> 0) (f(x_0 + h)-f(x_0))/h =\
+      lim_(h -> 0) (f(x_0 - h)-f(x_0))/h = f'(x)
+    $)
+    definiert ist
+
+  ])
+)