From 563442d0202c5c4f7c6fcfb3b4b1fff06606d711 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: alexander <alexander@xstation>
Date: Sun, 14 Dec 2025 23:58:39 +0100
Subject: [PATCH] Added Ableitung

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 src/Analysis_rewrite.typ | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 39 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/src/Analysis_rewrite.typ b/src/Analysis_rewrite.typ
index e1e9cab..2c2e899 100644
--- a/src/Analysis_rewrite.typ
+++ b/src/Analysis_rewrite.typ
@@ -119,13 +119,20 @@
     $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
     $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
     Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)
+  - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
 
   *Konvergent Grenzwert finden*
   - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
   - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
-    für $a_(n+1) = f(a_n)$
+    für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
   - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
     $(1 + a)^n >= 1 + n a$
+  - Sandwitchtheorem:\
+    $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
+    $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
+    $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
+  - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
+    (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
 
   #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Konvergent Folge Regeln])
   #grid(
@@ -157,14 +164,45 @@
     grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ exp(x) =  e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $))
   )
 
+  #subHeading(fill: colorFolgen, it: [Teilfolgen])
+  $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
+  - Index muss streng monoton steigen!
+  - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
+  - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
+  - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
+
+
 
   #subHeading(fill: colorReihen, it: [Reihen])
 
   #subHeading(fill: colorReihen, it: [Potenzreihen])
 
+  #colbreak()
   #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Funktionen])
+  - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
+    #MathAlignLeft($ f'(x_0) = lim_(x->x_0 plus.minus) (f(x_0 + h - f(x_0))/h) $)
+  - $f(x)$ diffbar $=>$ $f(x)$ stetig
   
   #subHeading(fill: colorAbleitung, it: [Ableitung])
+  #grid(
+    row-gutter: 3mm,
+    columns: (1fr, 1fr),
+    grid.cell(
+      colspan: 2,
+      [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
+    ),
+    grid.cell(
+      colspan: 2,
+      [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
+    ),
+    grid.cell(
+      colspan: 2,
+      [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
+    ),
+    [$f(x) = c : f'(x) = 0$],
+    [$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
+    [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
+  )
 
   #colbreak()
 ]
\ No newline at end of file