From 475d3df192bf90b5e419c6d581cb82ea066ba35b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: alexander <alexander@xstation>
Date: Fri, 20 Feb 2026 14:13:38 +0100
Subject: [PATCH] expend linAlg

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 src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ | 88 ++++++++++++++++++++-----------
 src/lib/mathExpressions.typ       |  3 +-
 2 files changed, 58 insertions(+), 33 deletions(-)

diff --git a/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ b/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
index 80c9c75..1d60a3e 100644
--- a/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
+++ b/src/cheatsheets/LinearAlgebra.typ
@@ -92,9 +92,17 @@
         $S_n$: Symetrisch Gruppe (Permutation von element) \
         $(S_n, compose)$ ist Gruppe, aber nicht kommutativ
     ]
+
+    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
+        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
+        
+        #ComplexNumbersSection()
+    ]
+
     #colbreak()
     #bgBlock(fill: colorVR)[
         #subHeading(fill: colorVR)[Vektorräume (VR)]
+        Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$) \
         $(V, plus.o, dot.o)$ ist ein über Körper $K (V, +, dot)$ \
             $(V, +), (V, dot)$ kommutativ Gruppe
         - Vektor-Addition $+: V times V -> V, (v,w) -> v + w$
@@ -105,10 +113,8 @@
             $(lambda + mu)v = lambda v + mu v$
         - Neutrales Element für $dot.o : 1v = v$
         - Neutrales Element für $plus.o : arrow(0) in V$
-        Bsp: $KK^n$ ($RR^n, CC^n$)
 
         *Untervektorraum: (UVR)* $U subset V$ \
-        
         #grid(columns: (1fr, 1fr, 1fr),
             align(center, $forall v,w : v + w in U$),
             align(center, $arrow(0) in U$),
@@ -117,32 +123,64 @@
     ]
 
     #bgBlock(fill: colorVR)[
-        #subHeading(fill: colorVR)[Basis und Dim]
-        *Linear Abbildung:* $Phi: V -> V$ 
-        - $Phi(0) = 0$
-        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
-        - Menge aller linearen Abbildung: $L(V,W)$
+        #subHeading(fill: colorVR)[Spann, Erzeugendensystem, Basis, Dim]
+        $"Sei" V "ein" KK"-VR"\ M = {ve(v_1), ve(v)_2, ve(v)_3, ...}, ve(v_i) in V "Menge von Vektoren"$
 
-        *Basis:*\
-        linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
-        - $B$ ist Erzeugerssystem von $V$
-        - Endliche Erzeugerssystem: $abs(B_1)=abs(B_2)...$
+        *Spann:* UVR von $V quad quad spann(M) subset V$
+        - UVR $= op("spann")(M) = limits(inter)_(M subset U) U$ \
+                $spann(M)$ ist der Durchschnitt aller Untervektorräume $U subset.eq V$ , die M enthalten:
+        - $op("spann")(M) = $ Alle lin. Kombindation von $ve(v_1), ve(v_2), ... in M$ \
+            $lambda_1 ve(v_1) + lambda_2 ve(v_2) + ... = ve(v) in spann(M)$
+        - Linear Abbildung $Phi : op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
 
-        *Linear unabhänige:*
-        Linearkombintation in welcher $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für $lambda_0 v_0 + ... + lambda_1 v_1 = 0$
+        *Erzeugendensystem* \
+        Menge $M = {ve(v_1), ve(v)_2, ve(v)_3, ...}$ ist Erzeugendensystem von UVR $U$ wenn $spann(M) = U$
 
-        *Basisergänzungssatz:* \
-        Sei ${v_1, ... v_n}$ lin. unabhänig und $M$ kein Basis. Dann $exists v_(n+1)$ sodass ${v_1, ... v_n, v_(n+1)}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
+        *Basis:* #underline("kleinstmögliche") Erzeugendensystem \
+        - Immer linear unabhänige Menge $B$ an $v in V$, sodass $op("spann")(v_1, ..., v_n) = op("spann")(V)$
+        - Jede Basis $B$ ist Erzeugerssystem (ABER NICHT ungekehrt)
+        - Endliche Erzeugerssystem: \
+            $B_1, B_2, ...$ Erzeugerssystem vom gleichen $V$ \
+            $=> abs(B_1)=abs(B_2)...$
 
-        *Dimension:* $dim V = \#$Vektoren der Basis
+        *Basisergänzungssatz:* Sei $M = {ve(v_1), ... ve(v_n)}, ve(v_i) in V$ lin. unabhänig aber $M$ kein Basis des $V$. Dann $exists v_(n+1)$ sodass $M union {ve(v_(n+1))}$ lin unabhänig (aber evt. eine Basis ist)
+
+        *Linear unabhänige:* \
+        - $v$ ist linear unabhänig wenn \ $spann(M) != spann(M without {ve(v)})$
+        - $M$ besteht nur aus linear unabhänig Vektoren wenn \ 
+            $lambda_0 = 0, ..., lambda_n = 0$ die EINZIEGE Lösung für  \ $lambda_0 ve(v_0) + ... + lambda_1 ve(v_1) = ve(0)$ \
+            $->$ Bei Matrizen: $A ve(v) = ve(0)$ lösen \
+        - Überprüfung by Inspection
+        - Überprüfung: Spalten Vekotren ein Matrix $A : A ve(v) = 0$
+            - Nur $ve(0)$ als Lösung $<=>$ Linearunabhänig
+            - $kern(A) = {ve(0)} <=>$ Linerarunabhänig
+
+
+        *Dimension:* 
+        - $dim V = \#$Vektoren der Basis (#underline[linear unabhänigs] Erzeugendensystem)
         - $dim V = infinity$, wenn $V$ nicht endlich erzeugt ist
-    ]
+        - $dim {ve(0)} = 0$
 
+        $U "UVR von "V => dim U <= dim V$
+        - Kodimension: $dim V - dim U$ 
+        - Wenn $dim U = dim V <=> U = V "(Kodimension"=0")"$
+        - Kodimension $= 1$ Hyperebend
+    ]
+    #colbreak()
     #bgBlock(fill: colorAbbildungen)[
         #subHeading([Abbildungen], fill: colorAbbildungen)
         
         $f(x)=y, f: A -> B$
 
+        *Linear Abbildung:* $Phi: M -> N$ 
+        - $Phi(0) = 0$
+        - $Phi(lambda v + w) = lambda Phi(v) + Phi(w)$
+        - Menge aller linearen Abbildung: $L(M,N), space "Mengen" M,N$
+        - $spann(Phi(M)) = Phi(spann(M))$
+
+        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR, 
+        Bsp. jede Matrix
+
         *Injectiv (Monomorphismus):*\
         _one to one_ \
         $f(x) = f(y) <=> x = y$ \
@@ -170,11 +208,7 @@
         Beweiß durch Wiederspruch \
         für Gegenbeweiß
 
-        *Vektorraum-Homomorphismus:* linear Abbildung zwischen VR \
-        Bsp. jede Matrix
-
-        *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$
-
+        *Endomorphismus:* $A -> B$ mit $A, B subset.eq C$ \
         Endomorphismus: $KK^n -> KK^n$ \
         KEIN Endomorphismus: $KK^n -> KK^m, m != n$ \
         Bsp. #underline("Qudratische") Matrix
@@ -188,11 +222,6 @@
         #subHeading(fill: colorAbbildungen)[Spann und Bild]
         $f: A -> B$
 
-        *Spann:* 
-        - Vektorraum $V : op("spann")(V) = limits(inter)_(M subset V) U$
-        - $B : op("spann")(U) = {lambda_0 v_0 + ... + lambda_n v_n, lambda_0, ... lambda_n in K}$
-        - $op("spann")(Phi(M)) = Phi(op("spann")(M))$
-
         *Urbild:* $f^(-1)(I subset B) subset.eq A$
 
         *Bild:* Wertemenge $WW$ 
@@ -455,11 +484,6 @@
 
     #colbreak()
 
-    #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
-        #subHeading(fill: colorAllgemein)[Komplexe Zahlen]
-        
-        #ComplexNumbersSection()
-    ]
 
     #sinTable
 ]
diff --git a/src/lib/mathExpressions.typ b/src/lib/mathExpressions.typ
index 5930fd7..1bdf376 100644
--- a/src/lib/mathExpressions.typ
+++ b/src/lib/mathExpressions.typ
@@ -2,10 +2,11 @@
 #let kern(x) = $op("kern")(#x)$
 #let alg(x) = $op("alg")(#x)$
 #let geo(x) = $op("geo")(#x)$
-#let spann(x) = $op("spann")(#x)$
+#let spann(x) = math.op($op("spann")(#x)$)
 #let Bild(x) = $op("Bild")(#x)$
 #let Rang(x) = $op("Rang")(#x)$
 #let Eig(x) = $op("Eig")(#x)$
+#let ve(x) = math.op($overline(#x)$)
 #let lim = $limits("lim")$
 #let ip(x, y) = $lr(angle.l #x, #y angle.r)$