#import "@preview/mannot:0.3.1"

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#import "../lib/mathExpressions.typ" : *

#set text(7.5pt)

#set page(
  paper: "a4", 
  margin: (
    bottom: 10mm,
    top: 5mm,
    left: 5mm,
    right: 5mm
  ),
  flipped:true,
  footer: context [
    #grid(
      align: center,
      columns: (1fr, 1fr, 1fr),
      [#align(left, datetime.today().display("[day].[month].[year]"))], 
      [#align(center, counter(page).display("- 1 -"))], 
      [#align(right, image("../images/cc0.png", height: 5mm,))]
    )
  ],
)

#place(top+center, scope: "parent", float: true, heading(
  [Analysis 1 (IE)]
))

#let SeperatorLine = line(length: 100%, stroke: (paint: black, thickness: 0.3mm))
#let MathAlignLeft(e) = {
  align(left, block(e))
}

#let colorAllgemein = color.hsl(105.13deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorFolgen = color.hsl(202.05deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorReihen = color.hsl(280deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorAbleitung = color.hsl(356.92deg, 92.13%, 75.1%)
#let colorIntegral = color.hsl(34.87deg, 92.13%, 75.1%)


#columns(5, gutter: 2mm)[

  // Allgemeiner Shit
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Allgemeins]

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
      inset: 0mm,
      gutter: 2mm,
      [
        *Dreiecksungleichung* \
        $abs(x + y) <= abs(x) + abs(y)$ \
        $abs(abs(x) - abs(y)) <=  abs(x - y)$ \
      ],
      [
        *Cauchy-Schwarz-Ungleichung*\
        $abs(x dot y) <= abs(abs(x) dot abs(y))$ \
      ],
      [
        *Geometrische Summenformel*\
        $sum_(k=1)^(n) k = (n(n+1))/2$ \
      ],
      [
        *Bernoulli-Ungleichung* \
        $(1 + a)^n x in RR >= 1 + n a$ \
      ],
      [
        *Binomialkoeffizient* $binom(n, k) = (n!)/(k!(n-k)!)$
      ],
      [
        *Binomische Formel*\
        $(a + b)^n = sum^(n)_(k=0) binom(n,k) a^(n-k) b^k $ \
      ],

      [
        *Gaußklammer*: \
          $floor(x) = text("floor")(x)$ \
          $ceil(x) = text("ceil")(x)$ \
      ],
      [
      ],
    )

    $bold("Fakultäten") 0! = 1! = 1\
    e approx  2.71828 quad quad quad pi approx 3.14159
    $
  ]

  // Complex Zahlen
  #bgBlock(fill: colorAllgemein)[
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Complexe Zahlen]

    #ComplexNumbersSection()

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
      row-gutter: 2mm,
      [$ sin(x) = (e^(i x) - e^(-i x))/(2i) $],
      [$ cos(x) = (e^(i x) + e^(-i x))/(2) $],
      grid.cell(
        colspan: 1,
        align: center,
        $ tan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
      ),
      grid.cell(
        colspan: 1,
        align: center,
        $ arctan(x) = 1/2i ln((1+i x)/(1-i x)) $
      )
        
    )
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Trigonmetrie]
    *Additionstheorem* \
    $sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)$ \
    $cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$ \
    $tan(x +y) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a) tan(b))$ \
    $arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1 - x y))$ \
    $arctan(1/x) + arctan(x) = cases(
      x > 0 : pi/2,
      x < 0 : -pi/2
    )$

    *Doppelwinkel Formel* \
    $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ \
    $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$

    #grid(
      gutter: 2mm,
      columns: (auto, auto, auto),
      $cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2$,
      $sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2$
    )

    $tan(x)=sin(x)/cos(x) = -cot(x + pi/2)$

    $cot(x)=cos(x)/sin(x)=-tan(x + pi/2)$

    #grid(
      gutter: 5mm,
      row-gutter: 3mm,
      columns: (auto, auto),
      [$cos(x - pi/2) = sin(x)$],
      [$sin(x + pi/2) = cos(x)$],    
    
    )
    $sin(x)cos(y) = 1/2sin(x - y) + 1/2sin(x + y)$

    Für $x in [-1, 1]$ \
    $arcsin(x) = -arccos(x) - pi/2 in [-pi/2, pi/2]$ \
    $arccos(x) = -arcsin(x) + pi/2 in [0, pi]$
  ]

  // Folgen Allgemein
  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen]

    *Beschränkt:* $exists k in RR$ sodass $abs(a_n) <= k$
    - Beweiße: durch Induktion
    - Beweiße: Hat min. ein konvergent Teilefolge
    - (Beweiße: Ungleichung $abs(a_n) <= k$)
  
    *Monoton fallend/steigended $a_(n+1) lt.eq.gt a_(n)$*
    - Beweise: Induktion

    *Konvergentz Allgemein*
    $lim_(n -> infinity) a_n = a$

    $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ sodass \
    - Konvergent $-> a$: $a_n in [a - epsilon, a + epsilon] $
    - unbeschränkt $=>$ Divergent
  
    *Konvergentz Häufungspunkte*
    - $a_n -> a <=>$ Alle Teilfolgen $-> a$

    *Folgen in $CC$* (Alle Regeln von $RR$ gelten)\
    - $z_n in CC : lim z_n <=> lim abs(z_n) = 0$
    - Zerlegen in $a + b i$ oder $abs(z) dot e^(i phi)$
  ]

  // Folgen Strat
  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Folgen Konvergenz Strategien]
    - Von Bekannten Ausdrücken aufbauen
    - *Monoton UND Beschränkt $=>$ Konvergenz*
    - Fixpunk Gleichung: $a = f(a)$ \
      für rekusive $a_(n+1) = f(a_n)$ (Zu erst machen!)
    - Bernoulli-Ungleichung Folgen der Art $(a_n)^n$: \
      $(1 + a)^n >= 1 + n a$
    - Sandwitchtheorem:\
      $b_n -> x$: $a_n <= b_n <= c_n$, wenn $a_n -> x$ und $c_n -> x$ \
    - Zwerlegen in Konvergente Teil folgen \
      (Vorallem bei $(-1)^n dot a_n$)
    - (Cauchyfolge \
      $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN space$ sodass \
      $forall m,n >= n_epsilon : abs(a_n - a_m) < epsilon$ \
      Cauchyfolge $=>$ Konvergenz)


    *Divergenz*
    - $a_n$ unbeschränkt $=>$ divergenz
    - Vergleichskriterium: \
      $b_n -> -infinity$: $b_n <= c_n$, wenn $c_n -> -infinity$ \
      $b_n -> +infinity$: $c_n <= b_n $, wenn $a_n -> +infinity$
  ]

  // L'Hospital
  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[L'Hospital]
    $x in (a,b): limits(lim)_(x->b)f(x)/g(x)$

    (Konvergenz gegen $b$, beliebiges $a$)

    Bendingungen:
    1. $limits(lim)_(x->b)f(x) = limits(lim)_(x->b)g(x)= 0 "oder" infinity$
    2. $g'(x) != 0, x in (a,b)$
    3. $limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x))$ konveriert

    $=> limits(lim)_(x->b) (f'(x))/(g'(x)) = limits(lim)_(x->b) (f(x))/(g(x))$

    Kann auch Reksuive angewendet werden!

    Bei "$infinity dot 0$" mit $f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x))$
  ]

  // Bekannte Folgen
  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Bekannte Folgen]
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      align: bottom,
      gutter: 2mm,
      [$ lim_(n->infinity) (a_n + b_n) = a + b $],
      grid.cell(
        rowspan:  2,
        [$ lim_(n->infinity) (a_n / b_n) = a / b $ für ($b != 0$)],
      ),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) (a_n dot b_n) = a dot b $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(a_n) = sqrt(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) abs(a_n) = abs(a) $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) c dot a_n = c dot lim_(n->infinity) a_n $),
    )
    
    #grid(
      columns: (auto, auto),
      column-gutter: 4mm,
      row-gutter: 2mm,
      align: bottom,
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) 1/n = 0 $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) sqrt(n) = + infinity $),
      MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) k = k, k in RR $), 
      MathAlignLeft($ e^x = lim_(n->infinity) (1 + x/n)^n $),
      grid.cell(colspan: 2, MathAlignLeft($ lim_(n->infinity) q^n = cases(
        0 &abs(q),
        1 &q = 1,
        plus.minus infinity &q < -1,
        plus infinity #h(5mm) &q > 1
      ) $)), []
    )
  ]

  // Teilfolgen
  #bgBlock(fill: colorFolgen)[
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Teilfolgen]
    $ a_k subset a_n space (text("z.B") k= 2n + 1) $
    - Index muss streng monoton steigen!
    - Beschränkte $a_n => text("min eine konvergente") a_k$
    - Konvergenz-Werte von $a_k$ sind Häufungspunkte
    - Wenn alle $a_k$ gegen #underline([genau eine]) Häufungspunk konverigiert $<=> a_n$ konvergent 
  ]

  // Reihen
  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Reihen]
    $limits(lim)_(n->infinity) a_n != 0 => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konverigiert NICHT \

    - *Absolute Konvergenz* \
      $limits(sum)_(n=1)^infinity abs(a_n) = a => limits(sum)_(n=1)^infinity a_n$ konvergent 
    
    - *Partialsummen* \
      ALLE Partialsummen von $limits(sum)_(k=1)^infinity abs(a)$ beschränkt\
      $=>$ _Absolute Konvergent_

    - *(Cauchy-Kriterium)*\
      konvergent wenn $forall epsilon > 0 space exists n_epsilon in NN$ \
      sodass $abs(s_n - s_m) = abs(limits(sum)_(k=m+1)^(n)) < epsilon space$ \
      $forall n_epsilon < m < n $

    - *Leibnitzkriterium* \
      Alternierend + Nullfolge \
      $=> limits(sum)_(n=1)^infinity (-1)^n dot a_n$ konvergent

    - *Vergleichskriterium* \
      $a_n, b_n : abs(a_n) <= b_n space forall n in NN > N_0, N_0 in NN$
      1. $limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ konvergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ konvergent \
        Suche $b_n$ für Konvergenz
      2. $limits(sum)_(n=0)^infinity abs(a_n)$ divergent $=> limits(sum)_(n=0)^infinity b_n$ divergent \
        Suche $abs(a_n)$ für Divergenz

      Nützlich:
      - Dreiecksungleichung
      - $forall space n > N_0 in NN space exists k,q in RR$ \
        sodass $q > 1$: $n^k <= q^n$ (Potenz stärker Polynom)

    - *Quotientenkriterium und Wurzelkriterium*
      1. $rho = lim_(n -> infinity) abs((a_(n+1))/(a_n)) $
      2. $rho = lim_(n -> infinity) root(n, abs(a_(n+1))) $ \
      
      divergent: $rho > 1$, keine Aussage $rho = 1$, konvergent $rho < 1$

    *Reihen in $CC$*
    - Alles 
  ]

  // Potenzreihen
  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Potenzreihen]
    $P(z) = sum_(n=0)^infinity a_n dot (z- z_0)^n quad z,z_0 in CC$

    #grid(
      columns: (auto, auto),
      column-gutter: 5mm,
      row-gutter: 1.5mm,
    
      [*Konvergenzradius*], [$|z - z_0| < R : $ absolute Konvergenz],
      [], [$|z - z_0| = R : $ Keine Aussage],
      [], [$|z - z_0| > R : $ Divergent]
    )

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
      $R = lim_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(lim_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$,
      $R = limits(liminf)_(n->infinity) abs(a_n/(a_(n+1))) = 1/(limits(limsup)_(n->infinity) root(n, abs(a_n)))$
    )

  ]

  // Bekannte Reihen
  #bgBlock(fill: colorReihen)[
    #subHeading(fill: colorReihen)[Bekannte Reihen]
    *Geometrische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity q^n$
    - konvergent $abs(q) < 1$, divergent  $abs(q) >= 1$
    - Grenzwert: (Muss $n=0$) $=1/(1-q)$

    *Harmonische Reihe:* $sum_(n=0)^infinity 1/n = +infinity$

    *Binomische Reihe:* 
    
    *Reihendarstellungen*
    #grid(
      columns: (1fr),
      gutter: 3mm,
      row-gutter: 3mm,
      $e^x = limits(sum)_(n=0)^m (x^n)/(n!) + O(x^(m+1))$,
      $ln(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n x^(n+1) + O(x^(m+1))$,
      $sin(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n+1))/((2n + 1)!) + O(x^(2m + 3))$,
      $cos(x) = limits(sum)_(n=0)^m (-1)^n (z^(2n))/((2n)!) + O(x^(2m + 2))$
    )
  ]

  // Ableitung
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen]

    $f(x) = y, f : A -> B$

    *Injectiv (Monomorphismus):* one to one\ 
    $f(x) = f(y) <=> x = y quad$
    
    *Surjectiv (Epimorhismis):* Output space coverered \
    - $forall y in B : exists x in A : f(x) = y$

    *Bijektiv*

    injektiv UND Surjectiv $<=>$ Umkehrbar
  ]

  // Funktions Sätze
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Funktionen Sätze]
    $f(x)$ diff'bar $=> f(x)$ stetig

    $f(x)$ stetig diff'bar $=> f(x)$ diff'bar, stetig UND $f'(x)$ stetig

    #line(length: 100%, stroke: 0.3mm)

    Sei $f : I =[a,b] -> RR$, stetig auf $x in I$


    - *Zwischenwertsatz* \
      $=> forall y in ["min", "max"] space exists text("min. ein") x in [a,b] : f(x) = y$ \
      _Beweiß für mindest. n Nst_

    - *Mittelwertsatz der Diff'rechnung* \
      diff'bar $x in (a,b)$ \
      $=> exists x_0 : f'(x_0)=(f(b) - f(a))/(a-b)$

    - *Mittelwertsatz der Integralrechnung*\
      $g -> RR "integrierbar," g(x)>= 0 forall x in [a,b]$\
      $exists xi in [a,b] : integral_a^b  f(x)g(x) d x = f(xi) integral_a^b g(x) d x$

    - *Satze von Rolle* \
      diffbar $x in (a,b)$\
      $f(a) = f(b) => exists text("min. ein") x_0 in (a,b) : f'(x_0) = 0$\
      _Beweiß für max. n Nst, durchWiederspruchsbweiß mit $f(a)=f(b)=0$ und Wiederholte Ableitung_

    - *Hauptsatz der Integralrechung*
      Sei $f: [a,b] -> RR$ stetig

      $F(x) = integral_a^x f(t) d t, x in [a,b]$\
      $=> F'(x) = f(x) forall x in [a,b]$
  ]

  // Stetigkeit
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Stetigkeit]
    *Allgemein*
    
    $f(x)$ ist stetig wenn: \
    $limits(lim)_(x->x_0-) f(x) = limits(lim)_(x->x_0+) f(x) = f(x_0)$ \
    $x in DD$ Beachten! Definitionslücken $!=$ unstätig \
    Definition gilt auch für $I subset RR$

    *Regeln*

    $f(x),g(x)$ seinen stetig dann sind auch Stetig:

    #grid(columns: (auto, auto, auto, auto, auto),
      column-gutter: 4mm,
      row-gutter: 2mm, 
      $f(x) + g(x)$, $f circle.small g$, $alpha dot f(x)$,
      $f(x)/g(x)$, $f(x) dot g(x)$
    )

    *Bekannte Funktion*
    #table(
      columns: (1fr, 1fr),
      table.header(
        [*Stetig*], [*Nicht Stetig*]
      ),
      stroke: (x, y) => (x: 0mm, y: 0.2mm),
      [
        - Polynome, gebrochen Rationale Fn
        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR without ZZ$
        - Betrags Funktion
        - $sin, cos, tan$
      ],
      [
        - Stufenfunktion
        - Fall Unterscheidungen
        - $floor(x),ceil(x)$ für $x in RR$
      ]
    )
  ]

  // Ableitung
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Ableitung]
    *Differenzierbarkeit*
    - $f(x)$ ist an der Stelle $x_0 in DD$ diffbar wenn \
      $f'(x_0) = lim_(x->x_0^plus.minus) (f(x_0 + h) - f(x_0))/h$
    - Tangente an $x_0$: $f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
      - Beste #underline([linear]) Annäherung

    *Ableitung Regeln*

    #grid(
      row-gutter: 3mm,
      columns: (1fr, 1fr),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) + g(x) : f'(x) + g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [$f(x) dot g(x) : f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $]
      ),
      grid.cell(
        colspan: 2,
        [#MathAlignLeft($ f(x)/g(x) : (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x)^2) $)]
      ),
      [$f(x) = c : f'(x) = 0$],
      [$c dot f(x) : c dot f'(x)$],
      [$(x^(-n)) n in NN : n x^(n-1)$],
      [$e^(x) : e^(x)$],
    )
    - Kettenregel: $f(g(x)) : f'(g(x)) dot g'(x)$
  ],

  // Ableitungstabelle
  #block([
    #set text(size: 7pt)
    #ableitungsTabelle
  ])

  // Extremstellen, Krümmung, Monotonie
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Extremstellen, Krümmung, Monotonie]

    *Monotonie* $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) <= f(x_1)$

    Hinreichende: $f'(x) >= 0$ \
    Konstante Funktion bei $f'(x) = 0$ 

    *Streng Monoton*
    $forall x_0,x_1 in I, x_0 < x_1 <=> f(x_0) < f(x_1)$ \
    
    Notwendig: $f'(x) >= 0$ (Aber nicht hinreichend)

    *Extremstellen Kandiaten*
    1. $f'(x) = 0$
    2. Definitionslücken
    3. Randstellen von $DD$

    #grid(columns: (1fr, 1fr),
      gutter: 2mm,
      [
        *Minima*\
        $x_0,x in I : f(x_0) < f(x)$ \
        $f''(x) > 0 $ \
        $f'(x) : - space 0 space +$ 
      ],
      [
        *Maxima*\
        $x_0,x in I : f(x_0) > f(x)$ \
        $f''(x) < 0$ \
        $f'(x) : + space 0 space -$
      ],
      [
        *Wendepunkt*\
        $f''(x) = 0$ \
        $f'(x) : plus.minus space ? space plus.minus$
      ],
      [
        *Stattelpunkt/Terrasenpunkt* \
        $f'''(x) != 0$
        $f''(x) = 0$ UND $f'(x) = 0$ \
        $f'(x) : plus.minus space 0 space plus.minus$ \
      ],
      [
        *Extremstelle* \
        $f'(x) = 0$
      ]
    )

    #grid(columns: (1fr, 1fr),
      gutter: 2mm,
      [
        *konkav* $f''(x) <= 0$ \ rechtsgekrümmt \
        Sekante liegt unter $f(x)$ \
        (eingebäult, von $y= -infinity$ aus)
      ],
      [
        *konvex* $f''(x) >= 0$ \ linksgekrümmt \
        Sekante liegt über $f(x)$ \
        (ausgebaucht, von $y= -infinity$ aus)
      ]
    )

    *Strange Konkav/Konvex* \
    Notwendig $f''(x) lt.gt 0$
  ]

  // Integral
  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])

    Wenn $f(x)$ stetig oder monoton $=>$ integrierbar

    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$

    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$

    *Ungleichung:* \
    $f(x) <= q(x) forall x in [a,b] => integral_a^b f(x) d x <= integral_a^b g(x) d x$ \
    $abs(integral_a^b f(x) d x) <= integral_a^b abs(f(x)) d x$

    *Partial Integration*
    
    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$

    $integral_a^b u(x) dot v'(x) d x = [u(x)v(x)]_a^b - integral_a^b u'(x) dot v(x)$

    *Subsitution*

    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) d x = integral_g(x_0)^g(x_1) f(t) dot <1/(g'(x)) d t$
    


    1. Ersetzung: $t := g(x)$
    2. Umformen:
      $(d t)/(d x) = g'(x)$

    *Weierstrass Subsitution/Brechstange* \
    Subsitution: $t = tan(x/2)$

    #grid(
      columns: (1fr, 1fr),
      row-gutter: 2.8mm,
      $d x = 2/(1+t^2) d t$,
      $sin(x) = 2t / (1 + t^2)$,
      $tan(x) = (2t)/(1-t^2)$,
      $cos(x) = (1-t^2) / (1 + t^2)$,
    )

    *Tricks aus der Schule*

    $integral f(a x+b) d x = 1/a F(a x + b) +c \
    integral (f'(x))/f(x) d x = ln abs(f(x)) \
    integral f'(x) e^(f(x)) d x = e^(f(x)) +c \
    $
  ])

  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
    #subHeading(fill: colorIntegral, [Integral])

    *Riemann Integral*\
    $limits(sum)_(x=a)^(b) f(i)(x_())$

    Summen: $integral f(x) + g(x) d x = integral f(x) d x + integral g(x)$

    Vorfaktoren: $integral lambda f(x) d x = lambda f(x) d x$

    *Integral Type*\
    - Eigentliches Int.: $integral_a^b f(x) d x$ 
    - Uneigentliches Int.: \ 
      $limits(lim)_(epsilon -> 0) integral_a^(b + epsilon) f(x) d x$ \
      $limits(lim)_(epsilon -> plus.minus infinity) integral_a^(epsilon) f(x) d x$
    - Unbestimmtes Int.: $integral f(x) d x = F(x) + c, c in RR$- Uneigentliches Int.: 
    
    *Cauchy-Hauptwert*

    $integral_(-infinity)^(+infinity) f(x)$ \
    NUR konvergent wenn: \
    $limits(lim)_(R -> -infinity) integral_(R)^(a) f(x) d x$ und $limits(lim)_(R -> infinity) integral_(a)^(R) f(x) d x$ konvergent für $a in RR$

    $integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ existiert \
    $=> lim_(M -> infinity) integral_(-M)^(M) f(x) d x = integral_(-infinity)^(infinity) f(x) d x$ 

    *Partial Integration*
    
    $integral u(x) dot v'(x) d x = u(x)v(x) - integral u'(x) dot v(x)$

    *Subsitution*

    $integral_(x_0)^(x_1) f\(underbrace(g(x), "t")\) dot 1/(g'(x)) d t$
    
    1. Ersetzung: $ d x := 1/g'(x) dot d t$ und $t := g(x)$
    2. Grenzen: $t_0 = g(x_0)$, $t_1 = g(x_1)$

    *Absolute "Konvergenz"* \
    Wenn $g(x)$ konvergent, 
    $abs(f(x)) <= g(x) => $ $f(x)$ konvergent
  ])

  #bgBlock(fill: colorIntegral, [
    #subHeading(fill: colorIntegral)[Partial-Bruch-Zerlegung]
    Form: $integral "Zähler Polynom"/"Nenner Polynom"$,
    $deg("Nenner") < deg("Zähler")$
    1. $deg("Zähler") >= deg("Nenner") ->$ *Polynomdivision*
    2. *Faktorisieren des Nenners (Nst finden)*, \
      Polynomdivision, Raten, Binomische Formel \
      Resulat: $N = (x - x_0)^(n_0+)(x - x_1)^(n_1)... (x^2+b x + c)^(m_1)$
    3. *Ansatz:* $A$\
      $(x-x_0)^n -> A/((x - x_0)^n) + B/((x - x_0)^(n-1)) ... + C/(x - x_0)$\
      $(x^2 + b x + c)^n -> (A x + B)/((x^2 + b x + c)^n) ... + (C x + D)/((x^2 + b x + c)^1) $

    4. *Durchmul.* $"Ansatz" dot 1/("Fakt. Nenner") = "Zähler"$
    5. $A,B,...$ :
      Nst einsetzen, dann Koeffizientenvergleich
    6. *Intergral wiederzusammen setzen $+c$*
    7. *Summen teile Integrieren*

    $integral 1/(x-a) d x = ln(x - a) + c\
    integral 1/(x-a)^n d x = - 1/(n-1) 1/(x - a)^(n-1) + c quad "für" n >= 2 \
    integral 1/((x - a)^2 + b^2) d x = 1/b arctan((x - a)/b) + c quad "für" n > 0\
    integral (x - a)/((x-a)^a + b^2) d x  = 1/2 ln((x-a)^2 + b^2) + c \    
    $

    #grid(
      columns: (1fr),
      column-gutter: 2mm,
      row-gutter: 4mm,
      $integral 1/x d x = ln abs(x) +c$,
      $integral 1/x^2 d x = - 1/x + c$,
      $integral 1/(a + x) d x = ln abs(a + x) + c$,
      $integral 1/(a + x)^2 d x = - 1/(a + x) + c$,
      $integral 1/(a - x) d x = - ln abs(a - x) + c$,
      $integral 1/(a - x)^2 d x = 1/(a - x) + c$
    )


  ])

  #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
    #subHeading(fill: colorAllgemein, [Sin-Table])
    #sinTable
  ])

  /*
  // Notwending und Hinreichend
  #bgBlock(fill: colorAllgemein, [
    #subHeading(fill: colorAllgemein)[Notwending und Hinreiched]

    #grid(columns: (1fr, 1fr),
      gutter: 2mm,
      inset: (left: 2mm, right: 2mm),
      $not "not." => not "Satz"$,
      $"hin." => "Satz"$,
      $"Satz" => forall "not." $,
      $not "Satz" => forall not "hin." $,

      $"not." arrow.r.double.not "Satz"$,
      $not "hin." arrow.r.double.not "Satz"$,
    )
  ])
  */

  // Taylor Reihen
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Taylorreihe]

    $T_m (x_0;x) = sum^m_(k=0) (f^((k))(x_0))/(k!) (x-x_0)^k$

    $f(x) = T_m (x_0;x) + R_(m+1)(x_0;x)$

    *Restglied* \
    $I = (a,b) quad x_0,x in I$
    
    $R_(m+1) (x) = 1/(m!) integral_(x_0)^x (x-t)^m f^((m+1))(t) d t$ \

    $forall x in I space space exists xi_x in I "sodass" \
    R_(m+1)(x_0;x) = (f^((m+1))(xi_x))/((m + 1)!) (x - x_0)^(m+1)\ 
    = f(x_0 + h) - T_m (x_0; x_0 + h) = o(h^m) = O(h^(m+1))$
  ]

  // Lamdauer Notation
  #bgBlock(fill: colorFolgen, [
    #subHeading(fill: colorFolgen)[Landau Notation]

    $f(x) = o(g(x)) "wenn" lim_(x->a) f(x)/g(x) = 0 \
      f(x) = O(g(x)) "wenn" abs(f(x)) <= abs(g(g))$

    *Rechen Regelen* \
    - $f = o(g) => f = O(g)$
    - $f_1 + f_2 = O\/o(f_1) + O\/o(f_2)$
    - $f_1 dot f_2 = O\/o(f_1 dot f_2)$


  ])

  // Kurven
  #bgBlock(fill: colorAbleitung)[
    #subHeading(fill: colorAbleitung)[Kurven]

    Länge einer Kurve $k(t)$: $L(k) = integral_a^b norm(k'(t)) d t$

    Umparametrisierung: $h(tau)$ *streng monoton steigended* \
    $h(tau): [a,b] -> [overline(a), overline(b)]$

    $overline(k): [overline(a), overline(b)] -> R^n, quad overline(k) = k(h(tau))$

    Parametriesierung nach Länge: \
    $s(t) = integral_a^t norm(k'(tau)) d tau quad overline(k)(tau) = k(s^(-1)(tau))$

    Wenn $k$ nach Länge param.: $T(t) =k'(t)$

    Tangentenvektor: $T(t) = (k'(t))/norm(k'(t))$ \
    Krümmung: $kappa(t) = 1/(s'(t)) norm(T'(t))$


    $RR^2: kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))/((x'(t)^2 + y'(r)^2)^(3/2))$ \
    Param Länge: $kappa(t) = abs(x'(t)y''(t) - y'(t)x''(t))$
  ]
]
